剖析一道中考压轴题
一、试题呈现 （2019淮安）如图1，矩形OABC顶点B的坐标为(8，3)，定点D的坐标为(12，0)．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动；动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．
(1)当t＝_______时，△PQR的边QR经过点B；
(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
(3)如图2，过定点E(5，0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC 的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN＝45°，求t的值．
二、典型错误剖析
(1)比较简单，分析略；
(2)本小题主要错误是漏解或计算有误，关键要理清图形运动过程中几种临界状态，进行分类讨论；
(3)最后一小题的主要错误有：①没有抓住正方形中45度角的作用，不知道这个特殊角该如何用；②想通过作高，结合45度角利用等积思想列方程，结果方程次数超过2次无法解出t值；③列出方程，结果计算错误． 三、解法分析
(1)△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形， ∴AB＝AQ，即3＝4－t，
∴t＝1．即当t＝1秒时，△PQR的边QR经过点B； (2)①当0≤t≤1时，如图3所示，
设PR交BC于点G，过点P作P⊥BC于点H，则
CH＝OP＝2t．GH＝PH＝3．
②当1 1 设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T．过点P作PH⊥BC于点H，则 (3)法1 ∵E(5，0>，∴AE＝AB＝3， ∴四边形ABFE是正方形， 如图6，将△AME绕点A顺时针旋转90°，得到△ABM'，其中AE与AB重合． 2 解得n＝－2＋7，或n＝－2－7（舍去）． ∴2－ 1t＝2＋7 2 解得：t＝8－27． ∴若∠MAN＝45°，则t的值为（8－27）秒． 笔者认为，本题可以将复杂的动点或线段转化为坐标，利用直角坐标系，找到等量关系，进而转化为一元二次方程来解决． tt），N（6＋，3）．从图6中得基本22图形为正方形＋45°角．下面是笔者研究的另外几种方法． 法2 旋转＋全等． 如图7，将△AME绕着点A顺时针旋转90°，使得AE与AB重合，则根据法1，MN＝EM＋BN．代入坐标，将这个等量关系转化为方程，得 结合动点及等腰直角三角形，可得M（5，6－ 3 化简得t－16t＋36＝0， 解得t1＝8－27，t2＝8＋27（舍去）． 法3 将△ANB绕着点A逆时针旋转90°，其余同法2． 法4 将45°角转化为90度角构造全等． 如图8，作出△AMN的外接圆，圆心为K，则 KM＝KN，∠MKN＝2∠MAN＝90°． 过点K分别向EF和FB作垂线段，垂足分别为H、I，则∠HKI＝90°， 可得△KHM≌AKIN， ∴KH＝KI，MH＝NI． 设K(a，b)， 则有a－5＝3－b， ① 2 31t－b＝6＋t－a． ② 22 根据①②，可解得 K（t＋4，－t＋4）， 再由KN＝KA，可得方程，解之即可． 四、对教学的启示 (1)把握“四步”，力求正确规范 不管是什么问题，拿到题目不要急于下笔，要做到逐字读题，仔细审题，规范答题，细心检查．在平时的教学和作业要求中，应该重视培养良好的学习习惯，严格执行解题规范，才能在解题中做到有条不紊，发挥正常水平． (2)重视“四基”，提升思维品质 平时教学中要善于归纳总结数学中常用的思想方法，如：分类讨论，数形结合，类比等数学思想．要体现学生的主体地位，从学生的角度去设计一些贴近生活，利于操作，让学生感兴趣的活动，并让学生在活动中独立思考、主动探索、合作交流，使学生能够通过活动，理解和掌握基本的知识和技能，提高数学思维品质，获得数学活动经验． (3)培养“四能”，善于反思创新 课堂教学中要给学生留有发现问题和提出问题的空间，教师不可包办、代办，要引导学生自主思考，合作探究，增强数学活动意识，从历年各地中考试题的立意来看，“四能”不仅要求学生会根据已有的数学知识和数学思想方法分析和解决问题，更是要求学生有发现问题和提出问题的能力，要求学生学会知识迁移，提高创新能力，这些都需要我们在今后教学中加以重视和培养． 6－ 4
2019中考数学复习《剖析一道中考数学压轴题》
