2024年长沙市中考数学试题及答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共
10个小题，每小题3分，共30分） 1．-相反数是（ ）
A．
1 3 B．-3 C． -
1 3
D．3
2．．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C.
3．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是（ ） A．S甲＜S乙
22
B．S甲＞S乙
22
C．S甲=S乙 D．不能确定
224．一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为（ ）
?x?2?x?2 A.? B. ?
x?-1x?-1???x?2?x?2C. ? D. ?
?x?-1?x?-1-3 -2 -1 0 1 2 3 ● ○ 4 5 5．下列四边形中，对角线一定不相等的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形
6．下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（ ）
7．小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时,自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ）
s s s s
O O O O t t t t A B C D - 1 - / 6
A
B
C
D
8.如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交BC于E， AD=6cm,则OE的长为（ ） A、6cm B、4cm C、3cm D、2cm 第8题
9. 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
23 B. I= RR66 C. I= D. I=-
RRA.I=
是（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知函数关系式：y=x-1,则自变量x的取值范围是__________
12．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD= 度． 13．若实数a,b满足：3a-1?b2?0，则a= ．
b第9题图
10．现有3㎝，4㎝，7㎝，9㎝长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数
第12题图
14. 如果一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是
15．任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是 事件
16. 在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是 cm; C
17．如图，AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= 度；
18. 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=2，∠B=60°， 则BC的长为 ；
三、解答题: （本题共2个小题，每小题6分，共12分） 19．（6分）计算：（）?2sin30-9
A
B
D
E
第17题图
F
12-1。第18题图
a2-2ab?b2b?20．（6分）先化简,再求值：，其中a=-2,b=1; 22a?ba-b四．解答题: （本题共2个小题，每小题8分，共16分）
21． 某班数代表小华对本班上期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下
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频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
根据上述信息，完成下列问题：
(1) 频数、频率统计表中，a＝ ；b= ; (2)请将频数分布直方图补充完整；
(3)小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于80分的概率是多少？ 人数 20 18 16 14 12 10 8 6 4
2 0 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 100.5
第21题图
分组 频数 频率 49.5～59.5 2 0.04 59.5～69.5 a 0.16 69.5～79.5 20 0.40 79.5～89.5 89.5～100.5 16 0.32 4 b 成绩（分） 合计 50 1
22. 如图，A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点， 且满足∠BAC=∠APC=60°, (1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD；
P
A
● O B C D
第22题图
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省
一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个。
（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？
（2）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”
中，东道湖南省共引进资金多少亿元？
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24．如图，已知正方形ABCD中，BE平分?DBC且交CD边与点E，将?BCE绕点C顺时针旋转到?DCF的位D 置，并延长BE交DF于点G A （1）求证:?BDG∽?DEG; （2）若EG·BG=4，求BE的 E G B F C
五、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25． 在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件20元。经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y???40-x(25?x?30)
?25-0.5x(30?x?35)（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）
（1） 当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2） 求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该
公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3） 第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；
另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款。若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围;
（0?m?n）26. 如图半径分别为m,n的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点，且点P（4,1），两
圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H。
（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d； （3）令四边形PO1QO2的面积为S1,
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四边形RMO1O2的面积为S2.
试探究：是否存在一条经过P,Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
参考答案
1．D 2．A 3．A 4．C 5．D 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B
11.x?1 12.105 13.1 14.m﹤0 15.随机 16.19.0 20.
s1-s22d的抛物线？若存在，亲、
2? 17.360 18.4 3a 2 a?b- 5 - / 6
21.（1）a=8 b=0.08
(2)图略 （3）40% 22.（1）略
（2）OD=4
23.（1）境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个。 （2） 24.（1）略
（2）BE=4 25.(1) 12 （2）
22
1°当 25?x?30时，W=(40-x)(x-20)-25-100=-x+60x-925=-（x-30）-25 故当x=30时，W最大为-25，及公司最少亏损25万； 2°当30﹤x≤35时，W=(25-0.5x)(x-20)-25-100=-
1212
x+35x-625=-（x-35）-12.5 22 故当x=35时，W最大为-12.5，及公司最少亏损12.5万；
对比1°，2°得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万； （3）
2
1°当 25?x?30时，W=(40-x)(x-20-1)-12.5-10=-x+59x-782.5
22
令W=67.5，则-x+59x-782.5=67.5 化简得：x-59x+850=0 x1=25;x2=34, 此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25?x?30； 2°当30﹤x≤35时，W=(25-0.5x)(x-20-1)-12.5-10=- 令W=67.5，则-
12
x+35.5x-547.5 2122
x+35.5x-547.5=67.5 化简得：x-71x+2024=0 x1=30;x2=41, 2 此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30﹤x≤35； 26.(1) y=x (2) 8 (3) 略
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