个区间。
3
2
【练46】（1）（2005高考北京卷）已知函数f(x)=－x＋3x＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，
＋∞）（2）－7
（2）(2005 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小
正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
答案：当x=10时,V有最大值V(10)=1960
【易错点47】二项式?a?b?展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错。
n?例47、??x?32??展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x的一次项为 。 2x?x与3n【易错点分析】本题中若
2x1的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。
2解析：椐题意有：Cn?2??Cn?2?162,即2n?n?1??2n?162,?n?9
22??则Tr?1?C9r?x?339?r????39?r2r?2?r9?r2rr23?C??2?x??1,?r?3 由???9223x?r?T4???1??2?C9x??672x
3【知识点归类点拨】二项式?a?b?与?b?a?的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分。
nn1??4【练47】（潍坊高三质量检测）?x?11?展开式中第5项与第12项系数的绝对值相等，则展开式的常
x??数项为 。
解析：据题意有??1?Cn?44n??1?1111Cn，即
11Cn?Cn?Cn?Cn15?r4114n?4?Cn,?n?4?11,?n?15
rTr?1?Cr15?x?4r?1?r60?15r令60?15r?0,得：r?4故展开式中常数项为：???11????1?C15x?x???1?
4C15?1365
41
4
【易错点48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。
2??35例48、在?x?的展开式中，的系数为 ，二项式系数为 。 x2?x??【易错点分析】在通项公式Tr?1?C5?2?x5rr15?5r5中，C5是二项式系数，C5?2是项的系数。
222rrr解析：令15?5r?5，得r?2，则项x的二项式系数为C5?10，项的系数为C5?2?40。 【知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。
?【练48】（2005高考山东卷）如果?3x??131?的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数?32xx?n是（ ）（A）7 （B）?7 （C）21 （D）?21 答案：当x?1时(3?1?1312nn)?2?128,?n?7即(3x?13x27),根据二项式通项公式得
Tr?1?C(3x)T6?1?C7367?6r77?r(?1)(x1x3r?23)?C31x3rr77?r(?1)x1x3r57?r3?7?531r??3,r?6时对应
x3,即
(?1)6?7?3??21x3.故项系数为21.
【易错点49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在次往往因为概念不清导致出错。
?例49、已知??2?x?2?x?n?n?N??的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10：1
求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。
【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当n为偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。 解析：由题意知，第五项系数为Cn???2?，第三项的系数为Cn?(?2)，则有
4224Cn???2?442C???2?2nrr?101?2，
?n?8设展开式中的第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为C8r?1?2r?1,C8?2,C8r?1r?1，
r?1r?1rr??C8?2?C8?2若第r+1项的系数绝对值最大，则?，解得：5?r?6? 系数最大值为
r?1r?1rr?C8?2??C8?2T7?17921x11由n?8知第五项的二项式系数最大，此时T5?1120n1x6
【知识点归类点拨】在?a?b?的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a，b的系数不为1时，最大
42
?Tr?1?Tr系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组?来确定之。
T?T?r?1r?2【练49】（2000年上海）在二项式?x?1?果用数值表示）
解析：展开式中第r+1项为C11?x5r11?r11的展开式中，系数最小的项的系数为 。（结
???1?，要使项的系数最小，则r为奇数，且使C11为最大，由此
rr得r?5，所以项的系数为C11???1???462。
【易错点50】对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。 例50、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1） （2） （3） （4）
分成1本、2本、3本三组；
分给甲、乙、丙三人，其中1人1本，1 人两本，1人3本； 平均分成三组，每组2本； 分给甲、乙、丙三人，每人2本。
5【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是排列问题。
解析：(1)分三步：先选一本有C6种选法，再从余下的5本中选两本，有C5种选法，最后余下的三本全选有C3种选法，有分步计数原理知，分配方式有：C6?C5?C3?60
（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）题的基础上，还考虑再分配问题，分配方式共有
312312C6?C5?C3?A3?360种。
（3）先分三步：则应是C6?C4?C2种方法，但在这里容易出现重复。不妨记六本书为A,B,C,D,E,F若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF）则C6?C4?C2中还有（AB，EF，CD），（CD，EF，AB）（CD，AB，EF），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共A3种情况，而且这些情
32222221233况仅是AB，CD，EF顺序不同，依次只能作为一种分法，故分配方式有
C6?C4?C2A323222?15种
（5） 在问题（3）的基础上，再分配即可，共有分配方式
C6?C4?C2A3322?A3种。
3【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于词类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重复或遗漏。
【练50】（2004年全国9）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到三个班担任班主任（每班一位班主任），要求这三位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方法共有（ ） A、 210种 B、420种 C、630种 D、840种
解析：首先选择3位教师的方案有：①一男两女；计C5?C4?30；②两男一女：计C5?C4=40。
1221 43
其次派出
313
2位教师的方案是
A33=6。故不同的选派方案共有
A3??C5?C4?C5??6C4??30?21? ?2040?种。4【易错点51】不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。 例51、四个男同学和三个女同学站成一排。 （1） （2） （3） （4） （5）
三个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ 任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？ 甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法？
女同学从左往右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（三个女生身高互不相等）
【易错点分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题，顺序一定问题等，如果对题意理解不够充分，往往选择错误的方法。
解析：（1）3个女同学是特殊元素，我们先把她们排列好，共有A3种排法；由于3 个同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一个整体，在与男同学排队，这时是五个元素的全排列，应有A5种排法。由乘法原理，有A3?A5?720种不同排法。
（2）先将男生排好，共有A4种排法；再在这4个男生的中间及两头的5 个空中插入3个女生，有A5种方案。故符合条件的排法共有A4?A5?1440种。
（3）甲、乙2人先排好，共有A2种排法；再从余下的5人中选三人排在甲、乙2人中间，有A5种排法，这时把已排好的5人看作一个整体，与剩下的2人再排，又有A3种排法；这样，总共有A4?A2?A3?720种不同的排法。
（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有A4种排法，由于甲、乙要相邻，故把甲、乙排好，有A2种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中，有A5种排法；这样，总共有A4?A2?A5?960种不同的排法。
（5）从七个位置中选出4个位置把男生排好，有A7种排法；然后再在余下得个空位置中排女生，由于女生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有A7种不同的排法。
【知识点归类点拨】解决有限制条件的排列问题方法是：①直接法：?位置分析法?②间接法：即排除不符合要求的情形③一般先从特殊元素和特殊用加法原理（分类）?元素分析法?用乘法原理（分步）?插入法（不相邻问题）?捆绑法（相邻问题）?4442224234232343433553位置入手。 44
【练52】（2004年辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数（ ） A、234 B、346 C、350 D、363
解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间3个座位，共有A19?A2种，再加上4种不能算相邻的，共有
12A20?A19?A2?4?346种。
【易错点53】二项式展开式的通项公式为Tr?1?Cnarn?r212b，事件A发生k次的概率：
的
概
率
公
式
：
rPn?k??CnPkk?1?P?n?k。二项分布列
pk?Cnpqkkn?k,k?0,1,2,3??,n且0?p?1,p?q?1，三者在形式上的相似，在应用容易混
淆而导致出错。
例53、（2004年全国理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得—100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。 （1） （2）
求这名同学回答这三个问题的总得分?的概率分布和数学期望。 求这名同学总得分不为负分（即??0）的概率。
【易错点分析】对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量?以及二项分布的条件的理解出错。
解析：（1）?的可能取值为—300，—100，100，300。
P????300??0.2?0.0083P????100??3?0.2?0.8?0.0962P???100??3?0.2?0.8?0.3842
P???300??0.8?0.5123所以?的概率分布为
? P —300 0.008 —100 0.096 100 0.384 300 0.512 根据?的概率分布，可得?的期望
E????300??0.008???100??0.096?100?0.384?300?0.512?180
（2）这名同学总得分不为负分的概率为
P???0??0.384?0.512?0.896。
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高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
