综上知当k??1或k??233时直线与双曲线只有一个交点，当?233?k?233且k??1。时
直线与双曲线有两个交点，当k?233或k??233时方程组无解此时直线与双曲线无交点。
【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。
【练19】（1）（2005重庆卷）已知椭圆c1的方程为
x24?y?1，双曲线c2的左右焦点分别为c1的左右
2顶点，而c2的左右顶点分别是c1的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线l:y?kx?2与椭????????圆c1及双曲线c2恒有两个不同的交点，且与c2的两个交点A和B满足lOA?OB?6，其中O为原
点，求k的取值范围。答案：（1）
x223（2）?y?1??1,????13???15???31??13??,??,???????23??32????2?????,1? 15??13（2）已知双曲线C： ，过点P（1，1）作直线l, 使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有____条。答案：4条（可知kl存在时，令l: y-1=k(x-1)代入x2?y4?1中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-
52，有一个切点另：当kl
22
(1-k)-4=0,∴ 当4-k=0即k=±2时，有一个公共点；当k≠±2时，由Δ=0有k?不存在时，x=1也和曲线C有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线） 【易错点20】易遗忘关于sin?和cos?齐次式的处理方法。 例20、已知tan??2，求（1）
cos??sin?cos??sin?2；（2）sin222??sin?.cos??2cos?的值.
【思维分析】将式子转化为正切如利用1?sin??cos?可将（2）式分子分母除去sin?即可。
解：（1）
cos??sin?cos??sin?1??sin?22??3?22；
1?tan?1?cos???sin?1?tan?1?1?cos?222 (2) sin2??sin?cos??2cos??2sin??sin?cos??2cos?sin??cos?22
sin?2cos?cos? ?2sin??12cos??sin??2?2?2?22?1?4?32.
【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。(1?sin??cos??sec??tan??tan?cot?
2222 16
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用． 【练20】．（2004年湖北卷理科） 已知6sin2??sin?cos??2cos??0,??[2?2,?],求sin(2???3)的值.
tan??3答案：?613?5326（原式可化为6tan??tan?2????2?0，sin?2????3??221?tan??1?tan2??）
【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答。 例21、如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为4?10米)
8【易错点分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n项,易误理解为是比等比数列的前n项和。
解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列an，则数列an是以a1=0.05?10米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a51=0.0531032=5.63310,而地球和月球间的距离为4310
-3
50
10
38
<5.6331010故可建一
座桥。
【知识点归类点拔】 以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及到等差或者等比数列的前n项和或第n项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。
【练21】（2001全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
15，本年度当地旅游业收入估计为
400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
14.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入
（1）an=800+8003(1－
15)+?+8003(1－
15nn)
n－1
=
?k?18003(1－
15)k－1=40003［1－(
45)n］
bn=400+4003(1+
14)+?+4003(1+
14)
k－1
=
?k?14003(
54)k1=16003［(
－
54)n－1］
（2）至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入
【易错点22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。 例21、下列命题正确的是（）
17
A、?、?都是第二象限角，若sin??sin?，则tan??tan?B、?、?都是第三象限角，若
cos??cos?，则sin??sin?C、?、?都是第四象限角，若sin??sin?，则tan??tan?D、?、?都是第一象限角，若cos??cos?，则sin??sin?。
【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或270到360度之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识而使思维受阻。
解析：A、由三角函数易知此时角?的正切线的数量比角?的正切线的数量要小即tan??tan?B、同理可知sin??sin?C、知满足条件的角?的正切线的数量比角?的正切线的数量要大即
tan??tan?。正确。D、同理可知应为sin??sin?。
【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。例如利用三角函数线易知???0,?????,sin????tan?，sin??cos??12?等。 【练22】（2000全国高考）已知sin??sin?，那么下列命题正确的是（）
A、 若??、都是第一象限角，则cos??cos?B、若??、都是第二象限角，则tan??tan? B、 若??、都是第三象限角，则cos??cos?D、若??、都是第四象限角，则tan??tan? 答案：D
【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将?和?求错。
例23．要得到函数y?sin?2x?????3??的图象，只需将函数y?sin12x的图象（）
A、 先将每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向右平移
?3个单位。
B、 先将每个x值缩小到原来的
14倍，y值不变，再向左平移
?3个单位。 单位。
C、 先把每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个
?6D、 先把每个x值缩小到原来的
14倍，y值不变，再向右平移
?6个单位。
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【易错点分析】y?sin12x变换成y?sin2x是把每个x值缩小到原来的
14倍，有的同学误认为是扩
大到原来的倍，这样就误选A或C，再把y?sin2x平移到y?sin?2x????? ?有的同学平移方向错了，
3?有的同学平移的单位误认为是
?3。
解析：由y?sin1???x变形为y?sin?2x??常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将23??14倍得到函数y?2sin2x的图象，
y?sin12x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
再将函数y?2sin2x的图象纵坐标不变，横坐标向右平移
?6单位。即得函数y?sin?2x??????。
3?或者先进行相位变换，即将y?sin12x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移
2?3个单位，得到
函数y?sin1?2?????1x??sinx?????的图象，再将其横坐标变为原来的4倍即得即得函数2?3?3??2???y?sin?2x??的图象。
3??【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由y?sinx得到 y?Asin?wx???的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由y?sinx横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍得到y?Asinx，再进行周期变换即由 y?Asinx纵坐标不变，横坐标变为原来的1?倍，得到y?Asinwx，再进行相位变换即由y?Asinwx横坐标向左（右）平移??个单位，即得y?Asin??x?????Asin??x???，另种就是先进行了振幅变换后，再进行相位变换即由????y?Asinx向左（右）平移?个单位，即得到函数y?Asin?x???的图象，再将其横坐标变为原来的1?倍即得y?Asin?wx???。不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹的变量x来说的。 【练23】（2005全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的
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A、 横坐标缩短为原来的
12倍（纵坐标不变），再向左平移?个单位长度。B、横坐标缩短为原来的
12倍
（纵坐标不变），再向左平移?个单位长度。C、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移?个单位长度。D、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移?个单位长度。 答案：C
【易错点24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。 例24、已知???0,??，sin??cos??713求tan?的值。
【易错点分析】本题可依据条件sin??cos??713，利用sin??cos???1?2sin?cos?可
解得sin??cos?的值，再通过解方程组的方法即可解得sin?、cos?的值。但在解题过程中易忽视
sin?cos??0这个隐含条件来确定角?范围，主观认为sin??cos?的值可正可负从而造成增解。
解析：据已知sin??cos??713（1）有2sin?cos???120169?0，又由于???0,??，故有
1713（2）
sin??0,cos??0，从而sin??cos??0即sin??cos??联立（1）（2）可得sin??1?2sin?cos??1213,cos??513，可得tan??125。
【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在?0,??区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若???0,????2??则必有sin??cos??1,故必有???15???,??。 ?2?【练24】（1994全国高考）已知sin??cos??答案：?,???0,??，则cot?的值是 。
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【易错点25】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。
例25、若sin??55,sin??1010，且?、?均为锐角，求???的值。
【易错点分析】本题在解答过程中，若求???的正弦，这时由于正弦函数在?0,??区间内不单调故满
足条件的角有两个，两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难，但若求???的余弦就不易出错，这是因为余弦函数在?0,??内单调，满足条件的角唯一。
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高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
