例13、等差数列?an?的首项a1?0，前n项和sn，当l?m时，sm?sl。问n为何值时sn最大? 【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。
解析：由题意知sn=f?n??na1?n?n?1?2d?dd?2n??a1?22???n此函数是以n为变量的二次函?数，因为a1?0，当l?m时，sm?sl故d?0即此二次函数开口向下，故由f?l??f?m?得当
x?l?m2时f?x?取得最大值，但由于n?N?，故若l?m为偶数，当n?l?m?12时sn最大。
l?m2时，sn最大。
当l?m为奇数时，当n?【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如sn?an?bn所对应的数列也必然是等差数列的前2n项和。此时由sn?sn??an?b知数列中的点?n,?是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如nn??n前n项和sn?ca?c所对应的数列必为一等比数列的前n项和。 【练13】（2001全国高考题）设?an?是等差数列，sn是前n项和，且s5?s6，s6?s7?s8，则下列结论错误的是（）A、d?0B、a7?0C、s9?s5 D、s6和s7均为sn的最大值。
答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答） 【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例14、已知关于的方程x?3x?a?0和x?3x?b?0的四个根组成首项为
2234的等差数列，求
a?b的值。
【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。 解析：不妨设
234是方程x?3x?a?0的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程
22x?3x?a?0的另一根是此等差数列的第四项，而方程x?3x?b?0的两根是等差数列的中间两
2735313579,b?从而a?b=。 ,,故a?1616844,44项，根据等差数列知识易知此等差数列为：
【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列?an?，若n?m?p?q，则an?am?ap?aq； 11
对于等比数列?an?，若n?m?u?v，则an?am?au?av；若数列?an?是等比数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数列；若数列?an?是等差数列，Sn是其前n项的和，k?N，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用。 【练14】（2003全国理天津理）已知方程x?2x?m?0和x?2x?n?0的四个根组成一个首项为
22*14的等差数列，则m?n=（） A、1 B、
34 C、
12 D、
38
答案：C
【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况
例15、数列{an}中，a1?1，a2?2，数列{an?an?1}是公比为q（q?0）的等比数列。 （I）求使anan?1?an?1an?2?an?2an?3成立的q的取值范围；（II）求数列{an}的前2n项的和S2n． 【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列{an?an?1}是公比为q（q?0）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。
解：（I）∵数列{an?an?1}是公比为q的等比数列，∴an?1an?2?anan?1q，an?2an?3?anan?1q，由anan?1?an?1an?2?an?2an?3得anan?1?anan?1q?anan?1q22?1?q?q，即
2，解得0?q?q?q?1?0（q?0）
21?25．
（II）由数列{an?an?1}是公比为q的等比数列，得
an?1an?2anan?1?q?an?2an?q，这表明数列{an}的
所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又a1?1，a2?2，∴当q?1时，
S2n?a1?a2?a3?a4???a2n?1?a2n
?(a1?a2?a3???an)?(a2?a4?a6???a2n)?a1(1?q)1?qn?a2(1?q)1?qn?3(1?q)1?qn，当q?1时，
S2n?a1?a2?a3?a4???a2n?1?a2n?(a1?a2?a3???an)?(a2?a4?a6???a2n) 12
?(1?1?1???1)?(2?2?2???2)?3n．
【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中an?2an?q是解题的关键，这种给出数列的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。 【练15】（2005高考全国卷一第一问）设等比数列?an?的公比为q，前n项和sn?0（1）求q的取值范围。
答案：??1,0???0,???
【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。
例16、．（2003北京理）已知数列?an?是等差数列，且a1?2,a1?a2?a3?12 （1）求数列?an?的通项公式（2）令bn?anxn?x?R?求数列?bn?前项和的公式。
【思维分析】本题根据条件确定数列?an?的通项公式再由数列?bn?的通项公式分析可知数列?bn?是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。 解析：（1）易求得an?2n
（2）由（1）得bn?2nx令sn?2x?4x?6x???2nx（Ⅰ）则
n23nxsn?2x?4x???2?n?1?x?2nx23nn?1（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得
?1?x?sn?2x?2x?2x???2x?2nx23nn?1?x?1?xn?当x?1sn?1?x?1?x?2??nxn?1??当??x?1时sn?2?4?6???2n?n?n?1?
综上可得：
?x?1?xn?当x?1sn?1?x?1?x?2??nxn?1??当x?1时sn?2?4?6???2n?n?n?1? ??【知识点归类点拔】一般情况下对于数列?cn?有cn?anbn其中数列?an?和?bn?分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练16】（2005全国卷一理）已知
un?a?a
nn?1b?an?2b???ab2n?1?bn?n?N?求数列?an?的,a?0,b?0?当a?b时，
13
前n项和sn
答案：a?1时sn??n?1?an?2??n?2?an?1?a?2a2?1?a?2当a?1时sn?n?n?3?2.
【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。 例17、求Sn?11?11?2?11?2?3???11?2?3???n．
【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。 解：由等差数列的前n项和公式得1?2?3???n?n(n?1)2，∴
11?2?3???n∴Sn?2(1??2n(n?1)12?13?2(11n??141113，?，就分别得到,，?，n取1，2，,)，
11?21?2?3n?11)???2(1n?1n?1)
12)?2()?2(3?2(1?1n?1)?2nn?1．
【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求11?22?12?42?13?62???1n?2n2，方法还是抓通项，即1n?2n2?1n(n?2)1n??111(?)，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，2nn?2如：an?，求其前n项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式n?1法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 【练17】（2005济南统考）求和Sn?2?12?11522＋
4?14?1
2
2
＋
6?16?1
12
2
＋?＋
(2n)?1(2n)?1122．
答案：Sn?1?11?13?1?13?15?1??17???1?2n?1?2n?1＝n?2n2n?1．
【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。 例18、（2004年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
3
(Ⅰ)若首项a1? ，公差d?1，求满足S2?(Sk)2的正整数k；
k2(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有S时极易根据条件“对于一切正整数k都有S2k2?(Sk)成立.
2【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)
k2?(Sk)成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数
列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立
14
的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。
解：（I）当a1?由S232,d?1时Sn?na1?12k4n(n?1)2d?32n?14n(n?1)2?12n?n
2k2?(Sk),得?k2?(122k232?k)，即 k(k?1)?0 又k?0,所以k?4.
（II）设数列{an}的公差为d，则在Sn?(Sn)中分别取k=1,2,得
2
??S1?(S1),?2??S4?(S2)2?a1?a12,?（1）
即?4?32?124a?d?(2a?d)?11（2） 22?d?0或d?6,
,
22
由（1）得 a1?0或a1?1.当a1?0时,代入(2)得2若a1?0,d?0,则an?0,Sn?0,从而Sk?(Sk)成立 若a1?0,d?6,则an?6(n?1),由S3?18,(S3)数列不符合题意.当a1?1时,代入(2)得?324,Sn?216知s9?(S3),故所得
24?6d?(2?d),解得d?0或d?2
若a1?1,d?0,则an?1,Sn?n,从而S2?(Sk)2成立;
k若a1?1,d?2,则an?2n?1,Sn?1?3???(2n?1)?n2,从而S?(Sn)2成立.
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an} : an=0，即0，0，0，?；②{an} : an=1，即1，1，1，?； ③{an} : an=2n－1，即1，3，5，?，
k2【知识点归类点拔】事实上，“条件中使得对于一切正整数k都有S2?(Sk)成立.”就等价于关于k的方
程的解是一切正整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。
【练18】（1）（2000全国）已知数列?cn?,其中cn?2?3,且数列?cn?1?pcn?为等比数列.求常数p
nn答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p的方程，再说明p值对任意自然数n都成立）
【易错点19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 例19、已知双曲线x?y22?4，直线y?k?x?1?，讨论直线与双曲线公共点的个数
【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。
??y?k?x?1?22222解析：联立方程组?消去y得到?1?k?x?2kx?k?4?0（1）当1?k?0时，
22??x?y?4即k??1，方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。（2）当
2?23?1?k?0k??时即，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当?23??4?4?3k??0??2?2323?1?k?0??k?时，方程组有两个交点此时且k??1。（4）当?233??44?3k?0????2?2323?1?k?0k?k??时即或时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 ?233??4?4?3k??0?? 15
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