【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率
P???k??k?0,1,2,??就是独立重复实验n次其中发生k次的概率CnPkk?1?P?n?k。但在解决实
际问题时一定看清是否满足二项分布。
【练53】（2004年重庆理18）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为
34，遇到红灯（禁止通行）的概率为
14。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，?表
示停车时已经通过的路口数，求：
（1）?的概率分布列及期望E?；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。
解析：（1）?的所有可能值为0，1，2，3，4。用Ak表示“汽车通过第k个路口时不停”‘则
P?Ak??34?k?1,2,3,4?且A1,A2,A3,A4独立。故P???0??PA1????14
P???1??PA1?A2???34?14?3219,P???2??PA1?A2?A3?()??, 1644643?P???3??PA1?A2?A3?A4??127?3??????,4256?4?43
81?3?P???4??P?A1?A2?A3?A4?????256?4?从而?的分布列为
?P 0 1 2 3 4 1414?1?316 316964 96427?4? 27256?525
81256 25625625681175?（2）P???3??1?P???4??1?。 256256【易错点54】正态总体N?,?E??0??2??3?81?2?的概率密度函数为f?x??12????x???2?22e,x?R，当
??0,??1时，f?x??使用范围上是不同的。
12?e?x22,x?R，叫作标准正态总体N?0,1?的概率密度函数，两者在
例54、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为?（单位：小时），已知??N1000,30命为1000小时的概率为99.70?2?，要使灯泡的平均寿
0，问灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上。
【易错点分析】由于?服从正态分布，故应利用正态分布的性质解题。
46
解析：因为灯泡的使用寿命??N1000,30?2?，故?在?1000?3?30,1000?3?30?的概率为
即?在?910,1090?内取值的概率为99.700，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上。 99.700，
【知识点归类点拨】在正态分布N?,?布N?,??2?中，?为总体的平均数，?00为总体的标准差，另外，正态分?2?在????,????的概率为68.3?2，在???3?,??3??内取值的概率为99.700。解题时，应当注意正态分布N?,??在各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计算失误。 【练54】一总体符合N?0,1?，若??1??a,??2??b，则该总体在（1，2）内的概率为 。 解析：由题意可得P?1???2???(2)??(1)?b?a。
【易错点55】对于数列的两个基本极限①limqn??n?0；②limSn?n??a11?q，两个极限成立的条件不同，
前者为q?1；而后者为0?q?1。
例55、在等比数列?an?中，a1?1，且n项和Sn，满足limSn?n??1a1,那么a1的取值范围是（ ）
A、?1,??? B、1,?2 C、?1,2? D、?1,4?
?【易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式s?件。
解析：设公比为q，由limSn?n??a11?q，求a1的范围时，容易忽视q?0这个条
1a1知
1?a1??1?qa?a21?1?q1??a12?1?1?????q?1????q?12????a1?1?0q?0q?0?????0?a12?2?又a1?1所以1?a1??2??a1?12。
?存在?q?1或q?1???n【知识点归类点拨】对于limq??0?q?1?，公比的绝对值小于1的无穷等比数列n???不存在?q?1或q??1???前n项和在n无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。 47
【练55】lim33n?1nnn????a?1?3n?13，求a的取值范围。
?lim解析：
n??3n?1??a?1?n?a?1??lim??lim???0nn??n??3?3??a?1?3??? ?3?11n?a?13?1,??4?a?2【易错点56】立体图形的截面问题。
例56、（2005哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体ABCD--A1B1C1D1，E、F分别是AA1、，过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨CC1的中点，p是CC1上的动点（包括端点）迹是（）
A、 线段C1FB、线段CFC、线段CF和一点C1D、线段C1F和一点C。
【易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。 解析：如图当点P在线段CF上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线DE平行于平面BB1CC1，则过DE的截面DEP与平面BB1CC1的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线，由于点P在线段CF上故此时过P与DE平行的直线与直线BB1的交点在线段BB1上，故此时截面为四边形（实质上是平行四边形），特别的当P点恰为点F时，此时截面为DEFB1也为平行四边形，当点P在线段C1F上时如图分别延长DE、DP交A1D1、D1C1于点H、G则据平面基本定理知点H、G既在平
截面DEP内也在平面A1B1C1D1内，故GH为两平面的交线，连结GH分别交A1B1、B1C1于点K、N（注也有可能交在两直线的延长线上），再分别连结EK、KN、PN即得截面为DEKNP此时为五边形。故选C
DAED1C1A1B1CPBF
HA1AEDCBD1NB1FPC1GK【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该
48
定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。
【练56】（1）（2005高考全国卷二）正方体ABCD—A1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分别是AB、AD、B1 C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）
（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 答案：D （2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，P、Q、R分别是BC、CC1、A1C1的中点，作出过三点P、Q、R截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。
【易错点57】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数
例57、（93全国考试）如果异面直线a、b所在的角为50,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30的直线有几条？
A、一条 B二条 C三条 D四条
【易错点分析】对过点P与两异面直线成相同的角的直线的位置关系空间想象不足，不明确与两直线所的角与两异面直线所成的角的内在约束关系。
解析：如图，过点P分别作a、b的平行线a?、b?，则a?、b?所成的角也为50，即过点P与a?、b?成相等的角的直线必与异面直线a、b成相等的角，由于过点P的直线L与a?、b?成相等的角故这样的直线L在a?、b?确定的平面的射影在其角平分线上，则此时必有
p???Ala'B0Cb'cos?APB?cos?APO?cos?OPB当cos?APO?cos30cos25??时，有cos?APO?cos30??cos25????0,1?，此时这样的直线存在且有两条当?BPC?130时，有
?cos?APO?cos30cos65?1这样的直线不存在。故选B
【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角?与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角?的关系，由公式cos??cos?cos?（其中?是直线与平面所成的角）易知cos??cos?????，cos??cos?????（最小角定理）故一般地，若异面直线a、b所成的角为?，L与a、b所成的角均为?，据上式有如下结论：当0????2时，这样的直线不存在；当 49
???2时，这样的直线只有一条；当?2??????2时，这样的直线有两条；当?????2时这样的直线有3条；当???2????2时，这样的直线有四条。 ??【练57】如果异面直线a、b所在的角为100,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是50的直线有几条？
A、一条 B二条 C三条 D四条 答案：C
【易错点58】有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视\a??,a//b,b??\三 个条件中的某一个。
P P //平面N 例58、如图，PA?矩形ABCD所在的平面，M，N分别为AB，PC的中点。求证：MNE PADN E [易错点分析]：在描述条件中，容易忽视AE?面PAD,MN?面PAD。
解析：取PD中点E，连结AE，EN，则有EN//CD//AB//AM，
EN?12CD?12AB?AMD D A A M M
B B C C ? AMEN为平行四边形，?MN//AE
?AE?面PAD,MN?面PAD?MN//面PAD
[知识点归类点拨]判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。
【练习58（2005浙江）如图，在三棱锥P—ABC中，AB?BC,AB?BC?kPA，
P 点O，D分别为AC，PC的中点，OP?平面ABC求证：OD//平面PAB 证明：?O,D分别为AC、PC的中点?OD//PA, 又PA?平面PAB,
PA?平面PAB,OD?平面PAB?OD//平面PAB
D C
B
A O
【易错点59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨步太大。
例59、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点， 求证：平面MNP//平面A1BD
【易错点分析】本题容易证得MN//A1D,MP//BD，而直接由此得出面
MNP//面A1BD
解析：连结B1D1,B1C,?P,N分别是D1C1,B1C1的中点，?PN//B1D1,B1D1//BD,?PN/BD 又PN?面A1BD,?PN//平面A1BD同理：MN//平面A1BD,又PN?MN?N
?平面DMN//平面A1BD。
50
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
