高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、
设A?x|x?8x?15?0，B?合的子集有多少个？
【易错点分析】此题由条件A?B?B易知B?A，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
解析：集合A化简得A??3,5?，由A?B?B知B?A故（Ⅰ）当B??时，即方程ax?1?0无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B??时，即方程ax?1?0的解为3或5，代入得a??2??x|ax?1?0?，若A?B?B，求实数a组成的集
13或
15。
综上满足条件的a组成的集合为?0,??11?3,?，故其子集共有2?8个。 35?Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝Ｂ?A∩B＝Ａ?Ａ将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．
（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：A???x,y?|x22?y?4?，
2B???x,y?|?x?3?2??y?4??r2?，其中r?0,若A?B??求r的取值范围。将集合所表达
的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练1】已知集合A??x|x222?4x?0?、B??x|x?2?a?1?x?a?1?0?，若B?A，
则实数a的取值范围是 。答案：a?1或a??1。 【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
2例2、已知?x?2??y24?1,求x?y的取值范围
22【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足?x?2??2y24?1这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
1
解析：由于?x?2??2y242
?1得(x+2)=1-
2
y2483≤1，∴-3≤x≤-1从而x+y=-3x-16x-12=
222
+
283因此当x=-1时x+y有最小值1, 当x=-
2
时，x+y有最大值
22
283。故x+y的取值范围是[1,
22
283]
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件?x?2??2y24?1对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，?2?y?2。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。 【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线（）
x24?yb22?1?b?0?上变化，则x?2y的最大值为
2?b2?b22
?4?0?b?4??4?0?b?2?b??（A）?4（B）?4（C）?4（D）2b
4?2b?b?4??2b?b?2???答案：A
【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例3、
f?x??a?2?11?2xx是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数f?1?x?
【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析：（1）利用f?x??f??x??0（或f?0??0）求得a=1.
?x??2?12?1xxx（2）由a?1即f，设y?f?x?,则2x?1?y??1?y由于y?1故2x?1?y1?y，
1?yx?log21?y，而f?x??2?12?1x?1?22?1x1?x???1,1?所以f?1?x??log21?x??1?x?1?
【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。 （2）应用f?1(b)?a?f(a)?b可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和
函数值要互换。
【练3】（2004全国理）函数f2?x??x?1?1?x?1?的反函数是（）
2A、y?x?2x?2?x?1? B、y?x?2x?2?x?1? C、y?x?2x?x?1? D、y?x?2x?x?1?
22 2
答案：B
【易错点4】求反函数与反函数值错位 例4、已知函数f?x??1?2x1?x，函数y?g?x?的图像与y?f?1?x?1?的图象关于直线y?x对
称，则y?g?x?的解析式为（） A、g?x??3?2xx B、g?x??2?x1?x C、g?x???11?x2?x D、g?x??32?x
?1【易错点分析】解答本题时易由y?g?x?与y?f?x?1?互为反函数，而认为y1?2?x?1?1??x?1??1?f?x?1?的
反函数是y?f?x?1?则y?g?x?=f?x?1?=?1?2x1?x?1?3?2xx而错选A。
解析：由f?x??得f?x??1?x2?x从而y?f?x?1??1??x?1?2???1??2?x1?x再求
y?f?1?x?1?的反函数得g?x???12?x1?x。正确答案：B
【知识点分类点拔】函数y?f?x?1?与函数y?f?x?1?并不互为反函数，他只是表示f?1?x?中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设y?f?x?1?则f?1?y??故y?x??1，
x?1，
x?f?1y互换即得y?y??1再将x、
?1?f?x?1?的反函数为y?f?1?fx??1?的
反函数不是y?f?x?1?，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
-1
-1
【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log2x的反函数是y=f(x)，则函数y= f(1-x)的图象是（）
答案：B
【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。 例5、 判断函数f(x)?lg?1?x2?x?2?2的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：f(?x)?lg?1?x2?x?2?2?f?x?从
3
而得出函数f?x?为非奇非偶函数的错误结论。
2??1?x?0解析：由函数的解析式知x满足?即函数的定义域为??1,0???0,1?定义域关于原点对称，
??x?2??2在定义域下f?x??lg?1?x?x2?易证f??x???f?x?即函数为奇函数。
【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数f?x?具有奇偶性，则f?x??f??x?或f?x???f??x?是对定义域内x的恒等式。常
常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练5】判断下列函数的奇偶性：
①f?x??4?x?2x?4②f?x???x?1?21?x1?x③f?x??1?sinx?cosx1?sinx?cosx
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
2x?2例6、 函数f?x??log22x?1?x????12或x?1??的反函数为f2??1?1证明f?x?是奇函数且在?x?，
其定义域上是增函数。
【思维分析】可求f只需研究原函数f?1?x?的表达式，再证明。若注意到
f?1?x?与f?x?具有相同的单调性和奇偶性，
?x?的单调性和奇偶性即可。
?2x?12x?12x?1解析：f??x??log2?2x?12x?12x?1?log22x?1??log22x?1??f?x?，故f22x?1在???,??x?为奇函数从而
f?1?x?为
奇函数。又令t??1???1??1?ty?log和上均为增函数且为增函数，,??2???2??2??1故f?x?在???,???1??1??和?,???上分别为增函数。故f2??2??x?分别在?0,???和???,0?上分别为
增函数。
【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即
f?1(b)?a?f(a)?b。
【练6】（1）（99全国高考题）已知f(x)?e?e2x?x ，则如下结论正确的是（）
4
A、 fC、 f?x?是奇函数且为增函数 B、f?x? 是奇函数且为减函数 ?x?是偶函数且为增函数 D、
?1f?x?是偶函数且为减函数
答案：A
（2）（2005天津卷）设f2则使?x?是函数f?x???ax?a?x??a?1?的反函数，
21f?1?x??1成立的x的
取值范围为（）A、(a?12a,??) B、(??,a?12a?12) C、(fa?12a2,a) D、(a,??)
a?1.） 2a2答案：A （a?1时，f?x?单调增函数，所以f?x??1??f?1?x???f?1??x?f?1??【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例7、试判断函数f?x??ax?bx?a?0,b?0?的单调性并给出证明。
【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义
x1?D,x2?Df?x1??f?x2??f?x1??f?x2??中的x1,x2的任意性。以及函数的单调区间必是
函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。 解析：由于f??x???f?x?即函数f?x?为奇函数，因此只需判断函数f?x?在?0,???上的单调性
?x1??f?x2???x1?x2?ax1x2?bx1x2?? 由于x1?x2?0 故当
即可。设x1?x2?0 ，f?x1,x2????b?,??? 时f?a??x1??f?x2??0，此时函数f?x?在??b?,???上增函数，同理可证
?a??函数f?x?在?0,?????,????b??上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在a???x在??,??????b??和???a???b?????b?,0?为减函数，在a??b?为增函数。综上所述：函数f??a??,???上分别为增函数，在
?a??0,???b??和????a???b?,0?上分别为减函数. a??【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。 （2）单调性的定义等价于如下形式：f?x?在?a,b?上是增函数?f?x1??f?x2?x1?x2?0，f?x?在?a,b?上是减函数?f?x1??f?x2?x1?x2?0，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两 5
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
