作者：王幼宁
u
④ Ⅰ? du2 ? ch2 dv2 ；
c
⑤ Ⅰ? du2 ? 2cos? dudv ? dv2 , 其中 ? ? ?(u, v) 连续可微．
⒏ 设正则曲面 S 的第一基本形式Ⅰ是正则曲面 S* 的第一基本形式Ⅰ* 的一个常数倍
(此时称它们是位似的)，试求 S 和 S* 的Riemann曲率张量分量之间的关系以及Gauss曲率之间的关系．
⒐ 试证：球面、柱面、马鞍面相互之间不存在局部等距对应.
⒑ 对两张曲面 S: r ? (u cos v , u sin v , ln u) 和 S*: r* ? (u* cos v* , u* sin v* , v*) 证明： ① 使 S 和 S* 的Gauss曲率对应相等的对应关系满足且只需满足 u* ? ?u ； ② S 和 S* 之间不存在局部等距对应.
au2 ? bv2
⒒ 已知曲面族 S(a, b): r ? (au , bv , ) ，其中a, b ? const. ? 0 ；试证：
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① S(a, b) 的Gauss曲率 ?(a, b) ? ；
ab(1 ? u2 ? v2)2
② S(a, b) 和 S(? , ?) 之间存在局部等距对应的充要条件是： ab ? ?? 并且或者 (?a?, ?b?)
? (???, ???) ，或者 (?a?, ?b?) ? (???, ???) .
⒓ 当正则曲面 S: r(u, v) 无脐点时，设 S 和曲面 S*: r*(u, v) 建立对应关系，使对应点
取相同的参数值 (u, v) ，并且在对应点处沿每一个相同的切方向 du:dv 所对应的法曲率保持对应相等．试证：
① 存在函数 ? ? 0 使Ⅰ? ?Ⅰ* 且Ⅱ? ?Ⅱ* ； ② 函数 ? 是常值函数；
③ S 和 S* 之间存在局部等距对应.
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§1 曲面论基本方程
