备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）
专题32函数、集合与复数
历年联赛真题汇编
1．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】设集合??={1,2,?,19}.是否存在集合A的非空子集??1,??2,满足 (1) ??1∩??2=?,??1∪??2=??； (2) ??1,??2都至少有4个元素;
(3) ??1的所有元素的和等于??2的所有元素的乘积? 证明你的结论. 【答案】答案见解析 【解析】答案是肯定的.
设??2=1,2,x,y﹐2 故取??1=3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,18,19, ??2=1,2,7,12, 则这样的??1,??2满足条件. 2．【2019高中数学联赛A卷（第02试）】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件:若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集. 【答案】2795 【解析】为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”先证明一个引理： 设G=(V，E)是一个简单图，且G是连通的，则G含有[]个两两无公共边的角(这里[a]表示实数a的整数部分). 2|??| 引理的证明:对E的元素个数|E|归纳证明. 当|E|=0，1，2，3时，结论显然成立. 下面假设|E|≥4，并且结论在|E|较小时均成立. 只需证明，在G中可以选取两条边a、b构成一个角，在G中删去a、b这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含|E|－2条边.对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立. 考虑G中的最长路??:??1??2?????，其中??1,??2,?,????是互不相同的顶点.因为G连通，故k≥3. 情形1:deg(??1)?2.由于P是最长路，v1的邻点均在??2,?,????中，设??1????∈??，其中3≤i≤k.则{??1??2, ??1????}是一个 1 / 2 角，在E中删去这两条边. 若v1处还有第三条边，则剩下的图是连通的；若v1处仅有被删去的两条边，则v1成为孤立点，其余顶点仍互相连通.总之在剩下的图中有一个连通分支含有|E|－2条边. 情形2:deg(??1)=1,deg(??2)=2.则{??1??2,??2??3}是一个角，在G中删去这两条边后，??1,??2都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有|??|?2条边. 情形3:deg(??1)=1,deg(??2)?3，且v2与??4,?,????中某个点相邻.则 去这两条边后，v1成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有|??|?2条边. 情形4:deg(??1)=1,deg(??2)?3，且v2与某个???{??1,??3,?,????}相邻.由于P是最长路，故u的邻点均在??2,?,????之中.因{??1??2,??2??}是一个角，在G中删去这两条边，则v1是孤立点. 若处仅有边uv2，则删去所述边后u也是孤立点，而其余点互相连通.若u处还有其他边uvi，3≤i≤k，则删去所述边后，除v1外其余点互相连通.总之，剩下的图中有一个连通分支含 有|??|?2条边. 引理获证. 回到原题，题中的V和E可看作一个图G=(V，E) 首先证明n≥2795. 设??={??1,??2,?,??2019}.在??1,??2,?,??61中，首先两两连边，再删去其中15条边(例如??1??2,??1??3,?,??1??16)，共连 2了??61?15=1815条边，则这61个点构成的图是连通图.再将剩余的201－61=1958个点配成979对，每对两点 是一个角，在G中删 之间连一条边，则图G中一共连了1815+979=2794条线段.由上述构造可见，G中的任何一个角必须使用??1,??2,?,??61相连的边，因此至多有[ 18152 ]=907个两两无公共边的角.故满足要求的n不小于2795. 另一方面，若|E|≥2795，可任意删去若干条边，只考虑|??|=2795的情形. 设G有k个连通分支，分别有??1,?,????个点，及??1,?,????条边.下面证明??1,?,????中至多有979个奇数. 反证法，假设??1,?,????中有至少980个奇数由于??1+?+????=2795是奇数，故??1,?,????中至少有981个奇数，k≥981.不妨设??1,??2,?,??981都是奇数，显然??1,??2,?,??981?2. 2令??=??981+?+?????2，则有C2?????????(1????980),C??>??981+?+????， 故2795= ∑????=1???? ? C2?? +∑ 980??=1 C2???? ① 222利用组合数的凸性，即对x≥y≥3，有C2??+C???C??+1+C???1，可知当m1，…，m980，m由980个2以及一个592构成时，????+∑2于是???? 980??=1 980??=1 2????取得最大值. ?? +∑ 222???????59+980??2=2691<2795， ?? 1 / 2 这与①矛盾.从而??1,?,????中至多有979个奇数. 对每个连通分支应用引理，可知G中含有N个两两无公共边的角， 其中??=∑ ????=12 [??]?(∑????=1?????979)=(2795?979)=908. 2 2 ??11 综上，所求最小的n是2795. 3．【2018高中数学联赛A卷（第02试）】设n、k、m是正整数，满足k≥2，且?????<2，…，m}的n元子集. 证明:区间(0, ?????1 2???1?? ??.设A是{1， )中每个整数均可表示为a－a'，其中a，a'∈A. 【答案】证明见解析 【解析】用反证法.假设存在整数??∈(0, ?????1 )不可表示为a－a'，a，a'∈A.作带余除法m=xq+r，其中0≤r 1，2，…，m按模x的同余类划分成x个公差为x的等差数列，其中r个等差数列有q+1项，xr个等差数列有q项.由于A中没有两数之差为x，故A不能包含以x为公差的等差数列的相邻两项. ??+12 从而??=|??|?????+(?????)??={ 2 ?? ??? ??+12 ,2???2|?? ???+??, 2 ?? ①. 这里????表示不小于??的最小整数. 由条件，我们有??>又??∈(0, ?????1 ??2???1 ??= ??2???1 (????+??) ③ ??+12 ② )，故??>(???1)?? 情形一q是奇数.则由①知，??????结合②，④可知，??? ??+12 ④ ??2???1 ???> ??2???1 (????+??)? ??+12 ????，从而q<2k－1. 再由q是奇数可知，q≤2k－3，于是?????? ??2 ?(???1)??，与③矛盾. ⑤ ????2(2???1) 情形二q是偶数.则由①知，??????+?? 结合②，⑤可知，???+?????> 2?? ??2???1 (????+??)，从而 ??2 < ???12???1 ??< (???1)??2???1 ，故q<2(k－1). 再由q是偶数可知，q≤2k－4，于是??????+???(???2)??+??<(???1)??， 与③矛盾. 综上可知，反证法假设不成立，结论获证. 4．【2018高中数学联赛B卷（第02试）】设集合A={1，2，…，n}，X、Y均为A的非空子集(允许X=Y).X中的最大元与Y中的最小元分别记为maxX、minY.求满足maxX>minY的有序集合对(X，Y)的数目. 1 / 2
专题32函数、集合与复数(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
