巩固
(x－1)lnx1．函数f(x)＝的零点有( )
x－3
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(x－1)lnx解析：选B.由f(x)＝＝0得：x＝1，
x－3
(x－1)lnx∴f(x)＝只有1个零点．
x－3
2
2．二次函数y＝ax＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( ) A．1 B．2
C．0 D．无法确定
2
解析：选B.∵ac＜0，∴Δ＝b－4ac＞0， ∴二次函数与x轴有两个交点．
1
3.函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )
xA．(0,1] B．(1,10]
C．(10,100] D．(100，＋∞)
9
解析：选B.由于f(1)f(10)＝(－1)×＜0，根据二分法得函数在区间(1,10]内存在零
10
点．
4．(原创题)定义在R上的奇函数y＝f(x)，当x＞0时，y＝f(x)是单调递增的，则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点情况为________．
答案：1个
5．已知函数f(x)＝2mx＋4，若在[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知m≠0，∴f(x)是单调函数， 又在[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0， ∴f(－2)f(1)≤0，
即(－4m＋4)(2m＋4)≤0，解得m≤－2或m≥1. 答案：m≤－2或m≥1
6．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
3
(1)f(x)＝x＋1；
1
(2)f(x)＝－x，x∈(0,1)．
x32
解：(1)∵f(x)＝x＋1＝(x＋1)(x－x＋1)，
2
令f(x)＝0，即(x＋1)(x－x＋1)＝0，∴x＝－1，
3
∴f(x)＝x＋1有零点－1.
2
11－x(2)法一：令f(x)＝0得－x＝0，＝0，
xx∴x＝±1，而±1?(0,1)，
1
∴f(x)＝－x，x∈(0,1)不存在零点．
x1
法二：令y1＝，y2＝x，在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象，从图中可以看出
x当0＜x＜1时，两图象没有交点．
1
故f(x)＝－x，x∈(0,1)没有零点．
x
练习
32
1．函数f(x)＝x－2x－x＋2的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3
22
解析：选D.f(x)＝x(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x－1)． ∴f(x)有三个零点1，－1,2.
2．函数f(x)＝lnx＋2x－1零点的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选D.在同一坐标系内分别作出函数y＝lnx与y＝1－2x的图象，易知两函数图象有且只有一个交点，即函数y＝lnx－1＋2x只有一个零点．
3x2
3．函数f(x)＝ln－的零点一定位于区间( )
2xA．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
3
解析：选A.由于f(1)f(2)＝(ln－2)(ln3－1)＜0，故函数在区间(1,2)内必存在零点，
2
故选A.
x4．(2024年高考福建卷)若函数f(x)的零点与g(x)＝4＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
2
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)
1xC．f(x)＝e－1 D．f(x)＝ln(x－)
2
1131x解析：选A.∵g(x)＝4＋2x－2在R上连续且g()＝2＋－2＝2－＜0，g()＝2
4222
＋1－2＝1＞0.
11x设g(x)＝4＋2x－2的零点为x0，则＜x0＜，
42
1111
0＜x0－＜，∴|x0－|＜.
4444
12
又f(x)＝4x－1零点为x＝；f(x)＝(x－1)零点为x＝1；
4
1322
5．(2024年合肥检测)函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
111
A．[0，] B．[，]
884111
C．[，] D．[，1]
422
1111
解析：选C.代入可知，只有f()·f()<0，所以函数的零点在区间[，]上．
4242
f(x)＝ex－1零点为x＝0；f(x)＝ln(x－)零点为x＝，故选A.
?－2，x＞0?
6．已知函数f(x)＝?，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)2
?－x＋bx＋c，x≤0?
＝f(x)＋x的零点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2
解析：选C.由已知当x≤0时f(x)＝－x＋bx＋c，由待定系数得：??f(0)＝c＝－2?
?f(－1)＝－1－b＋c＝1?
??c＝－2，
??
?b＝－4，?
??－2(x＞0)
故f(x)＝?2，令f(x)＋x＝0，分别解之得x1＝2，x2＝－1，x3＝
??－x－4x－2(x≤0)
－2，即函数共有三个零点，故选C.
3
7.用二分法求方程x－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，所以下一个有根区间为[2,2.5]．
答案：[2,2.5]
8．若函数f(x)的图象是连续不断的，根据下面的表格，可断定f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
1 2 3 4 5 6 136.123 15.542 －3.930 10.678 －50.667 －305.678 解析：用二分法解题时要注意，根据区间两个端点函数值符号的异同，确定零点所在区间．
答案：③④⑤
2
9．若函数f(x)＝x＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．
2
解析：∵f(x)＝x＋ax＋b的两个零点是－2,3.
2
∴－2,3是方程x＋ax＋b＝0的两根，
?－2＋3＝－a?a＝－1??
由根与系数的关系知?，∴?，
??－2×3＝bb＝－6??
2
∴f(x)＝x－x－6.
∵不等式af(－2x)＞0，
22
即－(4x＋2x－6)＞0?2x＋x－3＜0，
3
解集为{x|－＜x＜1}．
23
答案：{x|－＜x＜1}
2
2
10．关于x的二次方程x＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
x f(x)
解：设f(x)＝x＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]． (1)f(x)＝0在区间[0,2]上有一解．
3
∵f(0)＝1>0，∴应有f(2)≤0?m≤－.
2
(2)f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
2
?1?0≤－m－≤2?－3≤m≤1.
2
?
3
f(2)≥0?4＋(m－1)×2＋1≥0?m≥－，??2
Δ≥0?(m－1)－4≥0?m≥3或m≤－1，
2
3
∴－≤m≤－1.由(1)(2)知：m≤－1.
2
2
11．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由．
解：若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以1
a≤－或a≥1.
5
2
检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1.所以f(x)＝x＋x.
2
令f(x)＝0，即x＋x＝0，得x＝0或x＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
113613622
(2)当f(3)＝0时a＝－.此时f(x)＝x－x－.令f(x)＝0，即x－x－＝0，解之，
55555
21x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.
55
1
综上所述，a<－或a>1.
5
2
12．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c.
(1)若a>b>c且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
1
(2)若对x1，x2∈R且x1 2 根，证明必有一实根属于(x1，x2)． 证明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0. 22 又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.又∵Δ＝b－4ac≥－4ac>0，∴方程ax＋bx＋c＝0有两个不等实根，所以函数f(x)必有两个零点． 1 (2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]， 21f(x1)－f(x2) 则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝， 221f(x2)－f(x1) g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝， 22 f(x1)－f(x2)f(x2)－f(x1)12 ∴g(x1)·g(x2)＝·＝－[f(x1)－f(x2)]. 224 ∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)<0. ∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根． 1 ∴方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在(x1，x2)内必有一实根． 2
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