高中数学必修五第一章
解三角形复习知识点
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理:
abc???2R (R为三角形外接圆的半径). sinAsinBsinC2.正弦定理的一些变式：
abc； ,sinB?,sinC?2R2R2Ra?b?c?2R ；（4）iiia?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC??sinA?sinB?sinC?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC；?ii?sinA?3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）
【余弦定理】
?a2?b2?c2?2bccosA?2221．余弦定理： ?b?a?c?2accosB
?c2?b2?a2?2bacosC?2.推论：
?b2?c2?a2?cosA?2bc?
a2?c2?b2?
. ?cosB?
2ac?
?b2?a2?c2?cosC?
2ab?
设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则： ①若a?b?c，则C?90； ②若a?b?c，则C?90； ③若a?b?c，则C?90．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
222o222o222o
【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
1.S?1aha?1absinC?1r(a?b?c)（其中r为三角形内切圆半径）
2222.设p?1(a?b?c),S?2p(p?a)(p?b)(p?c)
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【三角形中的常见结论】
（1）A?B?C??(2) sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,
sinA?BCA?BC?cos,cos?sin;sin2A?2sinA?cosA, 2222（3）若A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC 若sinA?sinB?sinC?a?b?c?A?B?C （大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60
(6) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值 （7）?ABC中，A,B,C成等差数列的充要条件是B?60.
(8) ?ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列. 二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
???a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形（2）在?ABC中，由余弦定理可知:a2?b2?c2?A是钝角??ABC是钝角三角形
a2?b2?c2?A是锐角??ABC是锐角三角形（注意：A是锐角??ABC是锐角三角形）
(3) 若sin2A?sin2B，则A=B或A?B??2.
例1.在?ABC中，c?2bcosA，且(a?b?c)(a?b?c)?3ab，试判断?ABC形状.
题型2【解三角形及求面积】
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
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例2.在?ABC中，a?1，b?3，?A?300，求的值
例3.在?ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，已知c?2，C??3．
（Ⅰ）若?ABC的面积等于3，求a,b；
（Ⅱ）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求?ABC的面积．
题型3【证明等式成立】
证明等式成立的方法：（1）左?右，（2）右?左，（3）左右互相推.
例4.已知?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，求证：a?bcosC?ccosB.
题型4【解三角形在实际中的应用】
仰角 俯角 方向角 方位角 视角
例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
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