3.1.1方程的根与函数的零点
一、选择题
1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A．f(x)＝3x－4x＋5 C．f(x)＝lnx－3x＋6 [答案] D
[解析] 对于函数f(x)＝e＋3x－6来说
x2
B．f(x)＝x－5x－5 D．f(x)＝e＋3x－6
x3
f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2>0
∴f(1)f(2)<0，故选D.
2．已知函数f(x)＝mx＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1]
B．(0,1) D．(－∞，1]
2
C．(－∞，1) [答案] D
1
[解析] 解法1：取m＝0有f(x)＝－3x＋1的根x＝>0，则m＝0应符合题设，所以排
3除A、B，当m＝1时，f(x)＝x－2x＋1＝(x－1)它的根是x＝1符合要求，排除C.∴选D.
解法2：直接法，∵f(0)＝1，∴(1)当m<0时必成立，排除A、B，
2
2
m>0，??Δ＝(m－3)－4m>0，
(2)当m>0时，要使与x轴交点至少有一个在原点右侧，则?
m－3－??2m>0，
2
∴0 1 (3)当m＝0时根为x＝>0.∴选D. 3 3．函数y＝f(x)与函数y＝2－3的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(x)与直线y＝ xx的一个交点位于区间( ) A．(－2，－1) C．(1,2) [答案] B [解析] y＝2－3的反函数为y＝log2(x＋3) 由图象得：交点分别位于区间(－3，－2)与(2,3)内，故选B. x B．(2,3) D．(－1,0) 用心 爱心 专心 - 1 - 9 4．函数f(x)＝lgx－的零点所在的大致区间是( ) xA．(6,7) C．(8,9) [答案] D B．(7,8) D．(9,10) 9 [解析] ∵f(9)＝lg9－1<0，f(10)＝1－>0， 10∴f(9)·f(10)<0， ∴f(x)在(9,10)上有零点，故选D. 5．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α、β是函数f(x)的两个零点，则实数a、b、 α、β的大小关系可能是( ) A．a<α B．a<α<β D．α C．α [解析] ∵α、β是函数f(x)的两个零点， ∴f(α)＝f(β)＝0，又f(x)＝(x－a)(x－b)－2， ∴f(a)＝f(b)＝－2<0. 结合二次函数f(x)的图象可知，a、b必在α、β之间． 6．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx－ax的零点是( ) A．0,2 1B．0， 2 2 1 C．0，－ 2[答案] C 1 D．2，－ 2 [解析] 由条件2a＋b＝0，∴b＝－2a 1 ∴g(x)＝－ax(2x＋1)的零点为0和－. 2 用心 爱心 专心 - 1 - ??x＋2x－3，x≤0， 7．(2010·福建理，4)函数f(x)＝? ?－2＋lnx，x>0? 2 的零点个数为( ) A．0 C．2 [答案] C B．1 D．3 [解析] 令x＋2x－3＝0，∴x＝－3或1 ∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴lnx＝2 ∴x＝e>0，故函数f(x)有两个零点． 2 2 ?1?x3 8．函数y＝x与y＝??的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间为( ) ?2? A．(－2，－1) C．(0,1) [答案] C 1?1?x3 [解析] 令f(x)＝x－??，则f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，故选C. 2?2?9．(湖南省醴陵二校2009～2010高一期末)有下列四个结论： ①函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的定义域是(1，＋∞) ②若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则该函数为偶函数 ③函数y＝5的值域是(0，＋∞) ④函数f(x)＝x＋2在(－1,0)有且只有一个零点． 其中正确结论的个数为( ) A．1 C．3 [答案] C ??x＋1>0 [解析] 由? ??x－1>0 2|x| B．(－1,0) D．(1,2) x B．2 D．4 ，得x>1，故①正确；∵f(x)＝x过(2,4)，∴2＝4，∴α＝2， |x| |x| αα∴f(x)＝x为偶函数，故②正确；∵|x|≥0，∴y＝5≥1，∴函数y＝5的值域是[1，1－10x＋∞)，故③错；∵f(－1)＝－1＋2＝－<0，f(0)＝0＋2＝1>0，∴f(x)＝x＋2在(－1,0) 2内至少有一个零点，又f(x)＝x＋2为增函数，∴f(x)＝x＋2在(－1,0)内有且只有一个零点，∴④正确，故选C. 10．若函数f(x)＝x－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx－ax－1的零点是( ) 1 A．－1和 6 1 B．1和－ 6 用心 爱心 专心 - 1 - 2 2 xx
11-12学年高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点同步练习 新人教A版必修1
