初中数学竞赛辅导资料（8）
抽屉原则
内容提要
1． 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如
果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。
?n?表示不小于mn的最小整数，例如?73?＝3，?63??2 。那么抽屉原则可定义为：
m?个。 m个元素分成n个集合（m、n为正整数m>n）,则至少有一个集合里元素不少于?nm?的定义，己知m、n可求?m?； 3． 根据?nnm?，则可求m的范围，例如己知?m?＝3，那么2＜m≤3； 己知?nnnn己知?x?＝2，则 1＜x≤2，即3＜x≤6，x有最小整数值4。
332． 如果用m例题
例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？ 分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m（2000）个元素，分成n(366)
?n?个
2000172000?解：∵ ∴?＝6 答：至少有6名学生的生日是同一天 ?5
366366366个集合，至少有一个集合的元素不少于m例2从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。
解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，
它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。 ∵要在5个集合里取出6个数，
∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 （本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。
例3袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。
分析：我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于3个（有一个集合元素不少于3个）。 解：设至少应取出x个，用｛x｝表示不小于x的最小整数，那么｛x｝＝3，
444∴2＜x≤3， 即8＜x ≤12， 最小整数值是9。
4答：至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。
例4等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小于1，试说明理由。 解：取等边三角形各边中点，并连成四个小三角形（如图）它们边长等于1， ∵5个点放入4个三角形， ∴至少有2个点放在同一个三角形内， 而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。 练习8 1． 初一年新生从全县17个乡镇招收50名，则至少有＿人来自同一个乡镇。
2． 任取30个正整数分别除以7，那么它们的余数至少有＿＿个是相同的。
3． 在2003m中，指数m任意取10个正整数，那么这10个幂的个位数中相同的至少于＿＿个.
4． 暗室里放有四种不同规格的祙子各30只，为确保取出的祙子至少有1双（2只同规格为1双）那么至少要取几只？若要确保10双呢？
5． 袋子里有黑、白球各一个,红、蓝、黄球各6个.请你拿出一些球,要确保至少有4个同颜色,那么最少要取几个? 6． 任意取11个正整数，至少有两个它们的差能被10整除，这是为什么？
7． 右图有3行9列的方格，若用红、蓝两种颜色涂上，则至少有2列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。 8． 任意取3个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。
9． 90粒糖果分给13个小孩，每人至少分1粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？ 10．11个互不相同的正整数，它们都小于20，那么一定有两个是互质数。（最大公约数是1的两个正整数叫互质数） 11．任意6个人中，或者有3个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？
初中数学竟赛辅导资料(1) 参考答案
练习1
1.④ 22×32×7×3 ⑤ 3×7×13×37 ⑥ 23×32×11×13 2. 0，3，6，9 3. 0 4. 2，7 5. 3 6. 10010，9990 7. 9996，9992 8. 6：B 8：F，G 9：B，D 11：G，H 9. 16；27
10．有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关 11．仿例2，a＝5 12．10269（由最小五位数10234调换末两位数） 13．
练习2
1. 1，2，3，4，6，12； ±1，±2，±3，±6，±9，±18 2. 22×3×52； 18 3. 2×5； 22×53 4. 693 5. ［3，5，11］＝165，1155；990 6. A＝3 即求14－2与23－2的公约数 7. 30，60，90 8. （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15 8. 119。∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119
练习3
1. 25个 2. 2，9 3. 2，43 4. 1，19；1，73或－1，－73
7?13，?a?2,975 ? 6. 1900＝2×5×199 有6组 7. 2 8. ?
7，13b?97,2??9.令N＝2×3×5×7＝210，所求合数为N＋2，N＋3，……
10．分母只含2和5的质因数 11．11×11 12. 37 13. 3
练习4
2. 只一个 3. 4 4.无数多个，0 5. ①x ≠0，② 0或3 ③. X=0且y＝5 （注意或与且的区别） 6. 都不正确，0没有倒数 7. ①x>1或x<0 ② -2
练习5
1．6，4，9，2，7，4，4，0，0，7，0要注意3，7为底的正奇数次幂的和为0，正偶数次幂的差为0 2．7 3. 算出个位数的差为零 4．由32＋1写出通解 m=2＋4k (k为非负整数) 5．可用列表观察其规律 n= 1 2 3 4 n2= n+27= 2n+7n+2 6．5；1，3或7，9；2，4，6，8；3，7。 7．5；0；5 8. B
练习6
1. 2，－2，0，0 2. 5,-2,-2,1 3．①－2 ②－4 ③－1 ④7 ⑤4 78294，②，③，④ 8．399 9. 1 10. －2 872211练习7 7.① 1． x≠2，a>0, n是整数 2．①2n－1（n是整数） ②2n(n 是正整数) ③100a+10b+c(a是1到9,b,c是0到9 (1?n)n(2n?1)?9m(m?1)②（11＋2n+1） ③ 242n(n?1)4．103－1，10n－1 5．121， 12321， 123…n…321 6．4＋3＋2＋1＝10，1＋2＋3＋…＋（n-1）= 2练习8 的整数) ④an(n是正整数) ⑤a＝－a(a<0) 3．① 1. 3 2. 5 3. 3 4. 5只，23只 5. 12 6. ∵正整数的个位数字只有0，1，2，…9共10个，…… 7．设1表示红色，2代表蓝色，每列3格用2种涂色，最多只有如下8种涂法，第9列必与前8种中的一种相同 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 4． 把正整数按奇数，偶数分为两个集合，3个正整数放入两个集合，必有一个集合中，有2个 是同奇数或同偶 数，…… 9．如果我们给13人分配都不相同的粒数，∵1＋2＋…＋13＝91，而实际糖果只有90粒，∴必有1人要少分1粒，因而他一定与其余12人中的1个相同 10．用A，B，C，D，E，F表示6个人。A与其他5个人的关系――相识或不相识两种，必有一种不少于3人，不妨设A与B，C，D3人都相识，这时，只B，C，D3人中有2人相识，则本题的结论就成立。若B，C，D3人都互不相识，那么结论也成立。所以……
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