初中数学竞赛辅导资料（5）
an的个位数
内容提要
1．整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。
例如20023与23的个位数字都是8。
2．0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。 3．2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表： 指 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 底 2 …… 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 数 3 …… 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 …… 其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现， ＋＋＋
即24k+1与21，24K2与22，24K3与23，24K4与24的个位数是相同的（K是正整数）。 3和7也有类似的性质。
4．4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
＋
5．综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a4Km与am的个位数相同(k,m都是正整数。 例题
例1 的个位数是多少？
解：与32003的个位数是相同的，
∵2003＝4×500＋3，∴32003与33的个位数是相同的，都是7，∴2003的个位数是7。 例2 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由 解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2
∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9， ∴632000＋1472002的和个位数是0，∴632000＋1472002的和能被10整除。 例3 K取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？ 解：列表观察个位数的规律 K＝ 1 2 3 4 …… 3 9 7 1 …… 3的个位数 2 4 8 6 …… 2的个位数 3k＋2k的个位数 5 5 …… 从表中可知，当K＝1，3时，3k＋2k的个位数是5， ∵am与a4n+m 的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数）， ∴当K为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。 练习5
1． 在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）
220的个位数是（ ） 45的个位数是（ ） 330的个位数是（ ） 87 的个位数是（ ） 74K+1的个位数是（ ） 311＋79的个位数是（ ） 216×314的个位数是（ ） 32k-1＋72k-1的个位数是（ ）
72k－32k的个位数是（ ） 74k-1－64k-3的个位数是（ ） 7710×3315×2220×5525的个位数是（ ） 2． 目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。
3． 说明如下两个数都能被10整除的理由。 ①5353－3333 ②－ 4． 正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？
5． 设n是正整数，试说明2 n ＋7n+2能被5整除的理由。 6． 若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是＿＿＿
若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是＿＿＿ 若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是＿＿＿ 若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是＿＿＿
7．12+22+32+……+92的个位数是＿＿，12+22+32+……+192的个位数是＿＿，12+22+32+……+292的个位数是＿＿。 8. a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是（ ） （A）15116 （B）15129 （C）15144 （D）15321
初中数学竞赛辅导资料（6）
数学符号
内容提要
数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为：
1．元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等。 2．关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。 3．运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4．逻辑符号：略 5．约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a和b中，如果a除以b的商的整数部份记作Z（数记作R（
a），而它的余ba1010）， 那么Z（）＝3，R（）＝1；又如设?x?表示不大于x的最大整数，那么?5.2?＝5，??5.2?b33?2?＝－6，??＝0，??3?＝－3。
?3?正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）
对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。 在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。 例题
例1 设?Z?表示不大于Z的最大整数，＜n>为正整数n除以3的余数 计算：
3?34?〕－〈13;〉＋〈2004〉 ②〈〔〕〉＋〔〕。 721解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0 ②原式＝＜14＞＋〔〕＝2＋0＝2
2①〔〕＋〔－2例2 ①求的个位数 ②说明－能被10整除的理由 解：设N（x）表示整数x的个位数，
×
① N（）＝N（74497）＝N（74）＝1
×＋×＋
② ∵N（）－N（）＝N（744971）－N（344973）＝N（71）－N（33）＝7－7＝0 ∴－能被10整除
由于引入辅助符号，解答问题显得简要明了。 例3 定义一种符号★的运算规则为：a★b=2a+b 试计算：①5★3 ②（1★7）★4 解：①5★3＝2×5＋3＝13
②（2×1＋7）★4＝9★4＝2×9＋4＝22 例4 设a※b=a(ab+7), 求等式3※x=2※(-8)中的x
解：由题设可知：等式3※x=2※(-8)就是3（3x＋7）＝2〔2×（－8）＋7〕 ∴9x+21=－18 ∴x=－4
1 3练习6
1．设Q＜x >表示有理数x 的整数部分，那么Q＜＞＝______ Q＜－>=_______ Q<－＞＝_______ Q＜15＞＝________
2．设｛n｝表示不小于n的最小整数，那么｛｝＝___｛－｝＝___ ｛－2｝＝___ ｛－｝＋｛｝＝___ 3．设〔m〕表示不大于m的最大整数
① 若m=2 则〔m〕=_____ ② 若n= －则〔n〕=_____ ③ 若－1＜Y＜0则〔Y〕＝_____
④ 若7≤b<8 则〔b〕＝_____ ⑤ 若〔x〕=4 则＿＿≤x＜＿＿ ⑥ 若 n≤C 5! 3!(5?3)!6．设= a1a2b1b224a?2b7．定义一种符号＃的运算法则为a＃b= 那么 2a?b= a1b2－a2b1 计算：① 1 3＝ ② 1?1 ?10＝ ①3＃2＝______ ②2＃3＝______ ③（1＃2）＃3＝______ ④（－3）＃（1＃0）＝______ 8．a,b都是正整数，设a ⊕b表示从a起b个连续正整数的和。 例如2⊕3＝2＋3＋4；5⊕4＝5＋6＋7＋8。 己知：X⊕5＝2005，求X ??＋?－?? 9． 设［x］表示不大于x数的最大整数且?x?＝x－［x］，求?10． 设［a］表示不大于数a的最大整数，例如［2］＝1，［－2］＝－2 那么，［3x+1］＝2x- 1的所有的根的和是＿＿（1987年全国初中联赛题） 2初中数学竞赛辅导资料（7） 用字母表示数 内容提要和例题 1． 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概 括运算规律上，是一种飞跃。 2． 用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。 例如①写出数a的倒数 ②用字母表示一切偶数 解：①当a≠0时， a的倒数是 1 ②设n为整数， 2n可表示所有偶数。 a3． 命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。 例1 化简：⑴｜x －3｜（x<3） ⑵| x+5| 解：⑴∵x<3,∴x－3<0， ∴｜x－3｜＝－（x－3）＝－x＋3 ⑵当x≥－5时，｜x＋5｜＝x＋5，当x <－5时，｜x＋5｜＝－x－5（本题x 表示所有学过的数） 例2己知十位上的数是a,个位数是b ,试写出这个两位数 解：这个两位数是10a+b (本题字母a、b的取值是默认题设有意义,即a 表示1到9的整数，b表示0到9的整数) 4． 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。 例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则 解：①分数的基本性质是 ② bbmbb?m(m≠0)，? (m≠0) a作为左边的分母不另说明a≠0， ?aamaa?mbdbc???(d≠0) d在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。 acad116822412= (16?24?)?2?817171717175． 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可以变形，变 形时字母取值范围有变化时应加说明。例如： 乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac, 逆用5a+5b=5(a+b), ×－×=－= 路程S=速度V×时间T， V= SS(T≠0)， T=(V≠0) TV6． 用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。 例如：加法的符号法则 如果a>0，b>0， 那么 a+b>0，不可逆 绝对值性质 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a则a≥0) 7． 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 例题 例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n位数呢？ 解：不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000. 推广到n位正整数，则要观察其规律 一位正整数,从1到9共9个， 记作9×1 二位正整数从10到99共90个， 记作9×10 三位正整数从100到999共900个， 记作9×102 四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9×103 (指数3=4-1) …… …… ∴n位正整数共9×10 n-1个 例2 _____________________________________________________ A C D E B 在线段AB上加了3个点C、D、E后，图中共有几条线段？ 加n点呢？ 解：以A为一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共4条 以C为一端的线段有：(除CA外) CD、CE、CB 共3条 以D为一端的线段有：(除DC、DA外) DE、DB 共2条 以E为一端的线段有：(除ED、EC、EA外) EB 共1条 共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此 如果是n个点，则共有线段1+2+3+……+n+1= 练习7 1?n?1n(n?2)n=条 221． 右边代数式中的字母应取什么值？ ① 4 ②S正方形=a2 ③3的倍数3n x?22．用字母表示：①一切奇数 ②所有正偶数 ③一个三位数 ④n个a相乘的结果 ⑤负数的绝对值是它的相反数. 3．写出：⑴ 从1开始，n 个自然数的和是______________________ ⑵ 从11开始到2n+1 连续奇数的和( n>5)是__________ ⑶ m个球队进行单循环赛所需场数是_________________ 4．已知999=103－1, 9999=104－1, 那么各位数都是9的n位数999??????9=_________ On25． 计算112= 1112= (n≤10时)111?1?????=____________________ n6． 写出图中所有三角形并计算其个数，如果线段上有10个点呢？ ABCDE
初中数学竞赛辅导资料
