课时达标检测（十八） 函数的最大（小）值与导数
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值 B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值 D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值、一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
解析：选D 由极值与最值的区别知选D.
2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( ) A．无最值 C．有最大值
B．有极值 D．有最小值
解析：选A f′(x)＝2＋sin x＞0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
1
3．函数f(x)＝2x＋，x∈(0,5]的最小值为( )
xA．2 C.17 4
11－2＝B．3 1
D．22＋
2
x－1x2
＝0，得x＝1，
解析：选B 由f′(x)＝
32
xx且x∈(0,1)时，f′(x)＜0；x∈(1,5]时，f′(x)＞0， ∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
4．函数f(x)＝x－x－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( ) A．3 C．2
B．1 D．－1
3
2
12
解析：选B f′(x)＝3x－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1.又f(0)
3＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
5．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x) A．f(a)－g(a) C．f(a)－g(b) B．f(b)－g(b) D．f(b)－g(a) 1 解析：选A 令u(x)＝f(x)－g(x)， 则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0， ∴u(x)在[a，b]上为减函数， ∴u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)． 二、填空题 6．函数f(x)＝ 1 ＋x(x∈[1,3])的值域为________． x＋1 1 解析：因为f′(x)＝－ x＋1 x2＋2x， 2＋1＝ x＋12 所以f(x)在[1,3]上f′(x)＞0恒成立， 即f(x)在[1,3]上单调递增， 所以f(x)的最大值是f(3)＝3 最小值是f(1)＝. 2 13， 4 ?313?故函数f(x)的值域为?，?. ?24??313?答案：?，? ?24? 7．若函数f(x)＝x－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________. 解析：∵f′(x)＝3x－3， ∴当x>1或x<－1时，f′(x)>0； 当－1 ∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n. 又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0) 8．已知函数f(x)＝2＋2ln x，若当a＞0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：由f(x)＝2＋2ln x， 2 得f′(x)＝ 23 axaxx2－a， x32 又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a＞0， 令f′(x)＝0，得x＝－a(舍去)或x＝a. 当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0. 故x＝a是函数f(x)的极小值点，也是最小值点， 且f(a)＝ln a＋1. 要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e. 答案：[e，＋∞) 三、解答题 9．已知函数f(x)＝x＋ax＋2，且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称． (1)求导函数f′(x)及实数a的值； (2)求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值． 解：(1)由f(x)＝x＋ax＋2， 得f′(x)＝3x＋2ax. ∵f′(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－＝1. 3 ∴a＝－3，f′(x)＝3x－6x. (2)由(1)知f(x)＝x－3x＋2， 3 22 2 3 23 2 af′(x)＝3x2－6x. 令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2. 当x在[－1,2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) －1 (－1,0) ＋ 0 0 2 (0,2) － 2 0 －2 －2 由上表可知，当x＝－1或x＝2时，函数有最小值－2，当x＝0时，函数有最大值2. 10．设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1)求g(x)的单调区间和最小值； 1 (2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜对任意x＞0恒成立． a11 解：(1)由题设知f′(x)＝，g(x)＝ln x＋， xx所以g′(x)＝x－1 .令g′(x)＝0得x＝1. x2 3 当x∈(0,1)时，g′(x)＜0， 故g(x)的单调递减区间是(0,1)； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0， 故g(x)的单调递增区间是(1，＋∞)． 因此，x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以最小值为g(1)＝1. (2)由(1)知g(x)的最小值为1， 所以，g(a)－g(x)＜1 a对任意x＞0恒成立 ?g(a)－1＜1 a，即ln a＜1，从而得0＜a＜e. 故实数a的取值范围为(0，e)． 4
高中数学 课时达标检测（十八）函数的最大（小）值与导数 新人教A版选修11
