《函数的单调性与导数》教学设计
前言：
同学们，前几节课我们已经学习了平均变化率与导数，知道他们都可以来描述函数的变化情况，今天，我们想利用导数来研究函数的性质，函数最重要的性质是单调性，我们先回顾增函数的定义：
1．回顾增（减）函数的定义． 增函数定义：
如果函数y?f(x)在区间I上有定义，?x1,x2?I,x1?x2，都有f(x1)?f(x2)，那么称函数y?f(x)是区间I上的增函数．
增函数这个定义的伟大之处：将一个区间上函数的变化趋转化为任意两个函数值的比较。
下面，我来问大家这样一个问题：
请大家拿起计算器接受我的问题，并提交答案。
问题1：函数y?f(x)在区间I上是增函数??x1,x2?I，都有
f(x1)?f(x2) ?0．
x1?x2很容易证明这个命题是正确的。大家观察这个比值，它的几何意义是什么？平均变化率！
通过这个命题，我们知道，原来单调性的判断不仅可以用定义，还可以用过任意两点的割线的斜率（平均变化率）来判断。
2．提出本节课的研究问题．
接下来，我们看一个具体的例子：
问题2：你能判断函数f(x)?0.9x?sinx的单调性吗？
（请动手画图）
到现在为止，我们判断函数的单调性有哪些方法了？
图象法、定义法、平均变化率的方法，当然，平均变化率的方法与定义法实质是一样的。我们不妨用最直观的方法——图象法来研究。请大家画出函数的图象，再告诉我这个函数的单调性。
我们感觉f(x)的图象是上升的，但通过放大局部图象可以发现其图象有升有降，显然f(x)并非增函数．我们还可以计算几个具体的值，可以发现从左往后，函数值有大有小。
这说明，利用函数的图象观察其单调性很不可靠． 既然如此，还是回到定义的方法比较可靠，那么：
问题3：你能利用增（或减）函数的定义判断函数f(x)?0.9x?sinx在(,)上的单调性吗？
1
ππ32请大家在草稿纸上面进行演算推理。 证法一：?x1,x2?(,)且x1?x2，则
ππ32f(x1)?f(x2)?(0.9x1?sinx1)?(0.9x2?sinx2)
?0.9(x1?x2)?(sinx1?sinx2)．
难！
证法二：?x1,x2?(,)且x1?x2，则
ππ32f(x1)?f(x2)0.9(x1?x2)?(sinx1?sinx2) ?x1?x2x1?x2
?0.9?sinx1?sinx2．
x1?x2通过函数y?sinx（
ππsinx1?sinx2?x?）的图象观察，平均变化率似乎小于32x1?x20.9，从而
ππf(x1)?f(x2)?0，于是判断f(x)在(,)上为增函数．这一方法看似自
32x1?x2然，但不能这样证明．
刚才这个问题，我们用了图象法、定义法、平均变化率的方法，三种方法都不行！ 为此，我们必须寻找新的出路！刚才我们已经提到，函数的单调性与平均变化率有关，而平均变化率的极限是导数，那么，函数的单调性与导数是否有关呢？它们有什么样的关系呢？我们不妨从最熟悉的函数，高台跳水这个实例入手研究。
3．寻找判断增（减）函数的新方法．（不用念题，让学生动与讲）
问题4：10米高台跳水运动员以每秒2米的初速度起跳，运动员离开水面的高度随时间变化的函数为
h(t)??4.9t2?2.5t?10，
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何刻画运动员不同的运动状态？
师生互动：大家观察图象的升降，函数的增减与导数有什么样的关系？
为了方便观察，我们画出任意一点的切线，现在，我们就来观察函数的单调性与切线的斜率的关系。
我们拖动切线，发现当运动员从起跳到最高点，切线是上升的，即函数为增函数时，导数大于0；当运动员从最高点到入水这个时间段，切线都是下降的，即函数减函数时，导数小于0.这个规律是否普遍适用呢？让我们观察更多的图象，请大家研究以下问题。
说明：点班级，观察学生的情况（可显示姓名），并放某个学生的动作。
问题5：观察下图4种典型函数的图象，你能说出它们的单调性与导数的关系吗？
2
师生互动：分别喊4个同学，让他们讲讲单调性与导数的关系。 那我们是不是可以得到这样的结论：
若可导函数f(x)是区间I上的增函数，则f?(x)?0？
我们仔细观察函数y=x^3，该函数在R上为增函数，但是，它的导数为y=3x^2，当x<0时，导数大于0；当x=0时，导数等于0，当x>0时，导数大于0,可见，
若可导函数f(x)是区间I上的增函数，则f?(x)?0．
今天我们这节课要关心的不仅仅是函数为增，则导数大于等于0 ，而是函数满足什么条件时，它一定是增函数。
请大家回答这个问题：
问题6：可导函数y?f(x)在区间I上满足 ，则f(x)是区间I上的增函数． (1)?x1,x2?I且x1?x2，
f(x1)?f(x2)?0； (2)f?(x)?0；
x1?x2f(x1)?f(x2)?0； (4)f?(x)?0
x1?x2；
(3)?x1,x2?I且x1?x2，
A．①或② B．①或④ C．③或② D．③或④ 根据增函数的定义我们已经知道（1）与（3），选（3），那么（2）、（4）应该选哪一个？
注意到（2），对于常数函数，其导数恒为0，所以不对，应该将导数大于等于0，加强为大于0。
因此，我们得到这样一个猜想：f?(x)?0，则f(x)是区间I上的增函数． 我们能从理论进行证明吗？
问题7：如果可导函数y?f(x)在区间I上都有f?(x)?0，你能证明f(x)是区间
I上的增函数吗？
根据定义，要证明增函数，可以是图象法、定义法、平均变化率的方法，你希望哪个方法？也就是将问题转化为：
如果f?(x)?0，那么?x1,x2?I，
f(x1)?f(x2)?0.
x1?x2也就是证明，如果导数大于0，则平均变化率大于0，从几何的角度来讲，就是证明函数在任意一点的切线的斜率为正，那么在任意两点的割线的斜率为正。
也就要找切线与割线斜率之间的关系。
为了方便大家研究，我们不妨用一个增函数，例如y?x，还试一试。
有发现，…. 我们有发现，事先给一条割线，总有一条切线与之是平行的，即给一个平均变化率，总存在一个点的导数值与之相等。找一条割线试试？
3
是不是对任意一条割线，都有这个结论呢？
我告诉大家，著名的数学家拉格朗日早就发现了这个结论，这个结论就是 介绍：拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)满足：(1)在闭区间?a,b?上连续；(2)在开区间?a,b?内可导；那么在
?a,b?内至少存在一点?，使得f?????f?b??f?a?.
b?a
现在，允许你直接使用这个定理，证明问题7，请你动笔 证明：?x1,x2?I，根据拉格朗日中值定理，必存在一点??I，使得
f?????由已知，f?????0，所以
f(x1)?f(x2)
x1?x2f(x1)?f(x2)?0，
x1?x2所以，f(x)是区间I上的增函数． （5）得出结论：
如果可导函数y?f(x)在区间I上都有f?(x)?0，那么f(x)是区间I上的增函数； 如果可导函数y?f(x)在区间I上都有f?(x)?0，那么f(x)是区间I上的减函数．
这真是一个伟大的进步，如果说增函数的定义是将函数在一个区间上的变化趋势转化为任意两点的平均变化率，那么用导数来判断单调性，则是用函数的任意一点导数.
1．利用导数判断函数f(x)?0.9x?sinx在(,)上的单调性； 2．利用导数判断函数f(x)?x3?3x的单调性，并求出单调区间．
归纳判断函数的单调性的步骤： （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求出函数的导数；
（3）解不等式f?(x)?0，得函数的单调增区间；解不等式f?(x)?0，得函数的单调增区间．
学习小结
让学生谈谈今天的学习体会：解决了哪些问题？有什么收获？
4
ππ32
高中数学《函数的单调性与导数》精品公开课教案教学设计
