第二章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型
一、内容提要
本章介绍了回归分析基本思想及基本方法。首先，本章从总体回归模型及总体回归函数、样本回归模型及样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析基本思想。总体回归函数是对总体变量间关系定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。
本章一个重点是如何获取线性样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）学习及掌握。同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。
本章另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓统计检验。统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数及样本点“拟合优度”，第二是检验样本回归函数及总体回归函数“接近”程度。后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著线性影响关系，通过变量t检验完成；第二，检验回归函数及总体回归函数“接近”程度，通过参数估计值“区间检验”完成。
本章还有三方面内容不容忽视。其一，若干基本假设。样本回归函数参数估计以及对参数估计量统计性质分析以及所进行统计推断都是建立在这些基本假设之上。其二，参数估计量统计性质分析，包括小样本性质及大样本性质，尤其是无偏性、有效性及一致性构成了对样本估计量优劣最主要衡量准则。Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值及个值预测，以及预测置信区间计算及其变化特征。
二、典型例题分析
例1、令kids表示一名妇女生育孩子数目，educ表示该妇女接受过教育年数。生育率对教育年数简单回归模型为
kids??0??1educ??
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（1）随机扰动项?包含什么样因素？它们可能及教育水平相关吗？
（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下影响吗？请解释。 解答：
（1）收入、年龄、家庭状况、政府相关政策等也是影响生育率重要因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。有些因素可能及增长率水平相关，如收入水平及教育水平往往呈正相关、年龄大小及教育水平呈负相关等。
（2）当归结在随机扰动项中重要影响因素及模型中教育水平educ相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下影响，因为这时出现解释变量及随机扰动项相关情形，基本假设4不满足。
例2．已知回归模型E????N??，式中E为某类公司一名新员工起始薪金（元），N为所受教育水平（年）。随机扰动项?分布未知，其他所有假设都满足。
（1）从直观及经济角度解释?和?。
?满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。 ?和?（2）OLS估计量?（3）对参数假设检验还能进行吗？简单陈述理由。 解答：
（1）???N为接受过N年教育员工总体平均起始薪金。当N为零时，平均薪金为?，因此?表示没有接受过教育员工平均起始薪金。?是每单位N变化所引起E变化，即表示每多接受一年学校教育所对应薪金增加值。
?满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质成立无需随机?和仍?（2）OLS估计量?扰动项?正态分布假设。
（3）如果?t分布未知，则所有假设检验都是无效。因为t检验及F检验是建立在?正态分布假设之上。
例3、在例2中，如果被解释变量新员工起始薪金计量单位由元改为100元，估计截距项及斜率项有无变化？如果解释变量所受教育水平度量单位由年改为月，估计截距项及斜率项有无变化？ 解答：
首先考察被解释变量度量单位变化情形。以E*表示以百元为度量单位薪金，则
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E?E*?100????N??
由此有如下新模型
E*?(?/100)?(?/100)N?(?/100)
或 E*??*??*N??*
这里?*??/100，?*??/100。所以新回归系数将为原始模型回归系数1/100。 再考虑解释变量度量单位变化情形。设N*为用月份表示新员工受教育时间长度，则N*=12N，于是
E????N??????(N*/12)??
或 E???(?/12)N*??
可见，估计截距项不变，而斜率项将为原回归系数1/12。
例4、对没有截距项一元回归模型
Yi??1Xi??i
称之为过原点回归（regrission through the origin）。试证明
（1）如果通过相应样本回归模型可得到通常正规方程组
~?? 则可以得到?1两个不同估计值： ?1?YX， ?1~??XY???X?。
ii2i?均为无偏估计量。 （2）在基本假设E(?i)?0下，?1及?1~~?X通常不会经过均值点(X,Y)，但拟合线Y?????1X则相反。 （3）拟合线Y1?是?OLS估计量。 （4）只有?11解答：
（1）由第一个正规方程
?et?0得
或
~(Y???t1Xt)?0 ~Y???t1?Xt
~求解得 ?1?Y/X 由第2个下规方程
?X(Ytt?X)?0得 ??1t3 / 19
计量经济学习题集 第二章
