师大附中2011年高一自主招生考试
数学测试题
本卷满分150分 考试时间120分钟
题号 得分 阅卷教师 一 二 三 1 2 3 4 5 总 分 复 核
一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）
?1?1、下列图中阴影部分面积与算式?????2?1的结果相同的是??????【 】
4?2?32
2、下列命题中正确的个数有???????????????????????【 】
① 实数不是有理数就是无理数；② a＜a＋a；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内， 非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4
3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按
半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么??????????????????????????【 】
A、甲比乙更优惠 B、乙比甲更优惠 C、甲与乙相同 D、与原标价有关 4、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右
滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为【 】
A、2π B、π C、23 D、4
5、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m?n 等于?????????????????????????????【 】
A、36 B、37 C、38 D、39
二、填空题（每小题6分，共48分）
1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。 2、若化简1?x?x2?8x?16的结果为2x?5，则x的取值范围是 。
3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。 甲 乙 丙 笔试 90 88 90 2x实践能力 83 90 88 成长记录 95 95 90 4、已知点A是一次函数y?x的图像与反比例函数y?原点），则?AOB的面积为 。
的图像在第一象限内的交点，点B在x 轴的负半轴上，且OA?OB（O为坐标
5、如果多项式x?px?12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值是 。
6、如右图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足。延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0?x?1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数
是 。
2 1
7、已知x1，x2为方程x2?4x?2?0的两实根， 则x13?14x2?55? 。
8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。
三、解答题（本大题6小题，共72分） 1、（10分）在?ABC中，AB值。
2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。
甲 乙 价格（万元／台） 每台日产量（个） 7 100 5 60 ?AC，?A?45?。AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连结CD，如果AD?1，求：tan?BCD的
⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？ ⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF?2，BF?1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。
4、（12分）如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD?CB,对角线AC与BD交于O,?ACD?60?, 点S、P、Q分别是
OD、OA、BC的中点。
求证：△PQS是等边三角形。
5、（12分）如右图，直线OB是一次函数y?2x的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB 上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。
6、（14分）已知关于x的方程(m?1)x?3(3m?1)x?18?0有两个正整数根（m 是整数）。
2222△ABC的三边a、b、c满足c?23，m?am?8a?0，m?bm?8b?0。
22求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积。
2
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数学试题参考答案
一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B 二、1、2 2、1?x?4 3、甲、乙 4、
2 5、?7,?8,?136、
382(3x?4x?2) 7、7 8、20
三1、有已知可得?ADE和?CDE均为等腰直角三角形，计算得BD?2?1，在直角三角形BCD中，tan?BCD?BDCD?2?1。
2、（1）设购买x台甲机器，则7x?5(6?x)?34，所以x?2。即x取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。
（2）按方案①，所需资金6?5?30（万元），日产量为6?60?360（个）；按方案②，所需资金1?7?5?5?32（万元），日产量为1?100?5?60?400（个）；按方案③，所需资金为2?7?5?4?34（万元），日产量为2?100?4?60?440（个）。所以，选择方案②。
3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝x，PN＝y，则面积 S＝xy， ①
因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得 EAQ
4?y，即F2?(4?x)?12x?10?2y．
MPB 代入①，得S?(10?2y)y??2y2?10y， 即S??2(y?5225DNC2)?2．
因为3≤y≤4，而y＝5不在自变量的取值范围内，所以y＝522不是最值点，
当y＝3时，S＝12；当 y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12． 此时，钢板的最大利用率是80％。 4、连CS。
∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，
∴AO=BO,CO=DO.
∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形. ∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.
在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=12BC.
同理BP⊥AC. 在Rt△BPC中，PQ=
12BC.
又SP是△OAD的中位线，∴SP=1AD=122BC.
∴SP=PQ=SQ.
故△SPQ为等边三角形.
5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2. 设C1（x,2x），则得x2?(2x?2)2?22，解得x?8816）
5，得C1（
5,5 若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2. 设C22（x',2x'），则得x'2?(2x')2?22，解得x'?45.得C2（55,455）
又由点C243与点C2关于原点对称，得C3（?55,?55）
若此等腰三角形以OA为底边，则C114的纵坐标为1，从而其横坐标为2，得C4（
2,1）.
所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为： （
8165,5），（255,455），（?255,?455），C4（
12,1）
6、（1）方程有两个实数根，则m2?1?0，解方程得
x6，x3?m?1?1,2,3,6,?m?0,1,2,5,1?m?12?m?1．由题意，得??m?1?1,3, 即?
?m?2,4.故m?2．
（2）把m?2代入两等式，化简得a2?4a?2?0，b2?4b?2?0，
3
当a?b时，a?b?2?2．
当a?b时，a、b是方程x2?4x?2?0的两根，而△＞0，由韦达定理得，
a?b?4＞0，ab?2＞0，则a＞0、b＞0．
①a?b，c?23时，由于a2?b2?(a?b)2?2ab?16?4?12?c2 故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝②a?b?2?③a?b?2?12ab?1．
2，c?23时，因2(2?2，c?23时，因2(2?2)?23，故不能构成三角形，不合题意，舍去． 2)＞23，故能构成三角形．
S122△ABC＝
2?23?(2?2)?(3)?9?122 综上，△ABC的面积为1或9?122． 4
师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题及参考答案
