可设t1+t3＝0，t2+t4＝0，
g（t1）+g（t3）＝0，g（t2）+g（t4）＝0，
即有f（x1）+f（x3）＝g（t1）+g（t3）+2＝2，
f（x2）+f（x4）＝g（t2）+g（t4）+2＝2， x1+x2+x3+x4＝4，
则
f?x1??f?x2??f?x3??f?x4?x1?x2?x3?x4?2?2?1，故选：C． 4第Ⅱ卷（非选择题)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。
?x?3y?3?0?13.设变量x，y满足约束条件?3x?y?3?0，则z?x?y 的最小值为________.
?2x?y?6?0?【答案】
27 7【解析】画出可行域，图略，平移直线y＝-x＋z过点(151227,) 时，z取得最小值. 777n?14.等比数列{an}的前n项和Sn?k?2?2k?1(n?N,k?R),则常数k=_______.
【答案】1
→→sin C15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝1－，且b＝5，AC·ABa＋csin A＋sin Bb＝5，则△ABC的面积是________． 53
【答案】
2【解析】由
sin Cbc222
＝1－及正弦定理，得＝1－，即b＋c－a＝bc，所以cos Aa＋csin A＋sin Ba＋ca＋bb→→b2＋c2－a21π511
＝＝，所以A＝.因为AC·AB＝bccos A＝c＝5，所以c＝2，所以S△ABC＝bcsin A＝2bc23222×5×2×
353
＝. 22
16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积与底面积之差最大时，正方形ABCD的边长AB=_________；此时该四棱锥的外接球的表面积与内切球的表面积之比为_____.
【答案】3;
25 4【解析】连接OE交AB于点，设E,F,G,H重合交于点P，
xx,IE?6?， 22xx22因为该四棱锥的侧面积与底面积之差为?S?4?(6?)?x??2x?12x，当x?3时?S最大.
22设正方形的边长为x(x?0)，则OI?设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，
则有OC?32， 222?310??32?310?3??9?因为PC?EA???????，所以OP?????32. ??????2?2??2??2??2?则R2?(32?R)2?(22322152， )，解得R?2832. 4等体积法可求得内切球半径为r=外接球与内切球表面积之比即为半径的平方之比
25. 4三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
π?π????π?17.（12分）设函数f(x)＝sin?ωx－?＋sin?ωx－?，其中0<ω<3，已知f??＝0. 6?2????6?(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移
π?π3π?个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在?－，?上的最小值．
4?4?4
π?π???【解析】(1)因为f(x)＝sin?ωx－?＋sin?ωx－?，
6?2???所以f(x)＝＝
31
sin ωx－cos ωx－cos ωx 22
33
sin ωx－cos ωx 22
3?1?＝3?sin ωx－cos ωx?
2?2?π??＝3sin ?ωx－?. 3??
ωππ?π?因为f??＝0，所以－＝kπ，k∈Z，
63?6?
所以ω＝6k＋2，k∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2.
π??(2)由(1)得f(x)＝3sin ?2x－?，
3??
?ππ?所以g(x)＝3sin?x＋－?
43???π?＝3sin?x－?.
?12??π3π?因为x∈?－，?，
4??4
π?π2π?所以x－∈?－，?.
3?12?3
πππ3
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－. 12342
18.（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值． 【解析】(1)连接AC，交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点， 又M为AE的中点，∴MN∥EC.
∵MN?平面EFC，EC?平面EFC，∴MN∥平面EFC.
∵BF，DE都垂直底面 ABCD，∴BF∥DE.
∵BF＝DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF. ∵BD?平面EFC，EF?平面EFC， ∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.
(2)∵DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系
D-xyz.设AB＝2，则DE＝4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A( 2,0,0)，E(0,0,4)，
→→
∴DB＝(2,2,0)，DM＝(1,0,2)， 设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，
?n·→DB＝0，则?→
?n·DM＝0，
??2x＋2y＝0，得?
?x＋2z＝0.?
令x＝2，则y＝－2，z＝－1，从而n＝(2，－2，－1)为平面BDM的一个法向量． →
∵AE＝(－2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为θ，则 →
sin θ＝|cos〈n，AE〉|＝
?n·→AE?45?→?＝15， ?|n||AE|?
45
∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.
15
19.（12分）某单位为了提高员工的业务水平，举办了一次“岗位技能”大赛，从参赛的青年技师(35岁及35岁以下的技师)和中老年技师(35岁以上的技师)的成绩中各抽取20个进行研究．满分为100分，且均保留到小数点后一位，如95.3.具体成绩如茎叶图所示(以成绩的整数部分为茎，小数部分为叶)，并将这40个成绩分成四组，第一组[95,96)；第二组[96,97)；第三组[97,98)；第四组
[98,99]．
(1)根据以上数据写出抽取的20名青年技师成绩的中位数，并补全上面的频率分布直方图； (2)从成绩在[95,97)之间的技师中随机抽取2个，求其中2人成绩在[95,96)之间的概率； (3)研究发现从业时间与岗位技能水平之间具有线性相关关系，从上述抽取的40名技师中抽取5名^^
技师的成绩，数据如下表．其中x＝15，y＝97.1.用最小二乘法求得的回归方程为y＝0.16x＋a，请完成下表，并根据下表判断该线性回归模型对该组数据的拟合效果．(通常相关指数R＞0.80时认为线性回归模型对该组数据是有效的)
工龄x年 成绩y分 ^残差e n2
5 95.2 －0.3 10 96.4 0.1 15 97.8 25 98.5 －0.2 ∑ ?yi－yi?2
附：R＝1－
2
^
i＝1n.
∑ ?yi－y?2
i＝1
【解析】(1)将数据按从小到大的顺序排列，第10名和第11名青年技师的成绩分别为97.2和97.4，所以中位数是97.3. 频率分布直方图如图所示．
备战2024年高考数学（理科）全真模拟试卷及解析（八）
