相似三角形
一、知识点梳理 ★知识点一：比例线段
1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把a,b,c,d四
ac?或者a：b=c：d，期中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项。 bdacac ?等式两边同乘以bd，可得ad=bc，反过来等式ad=bc同除以bd，可得?
bdbdac2、比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，即?，那么这四条线段
bd个实数成比例表示成：
a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。
ab2那么b叫做a、c的比例中项， 此时有b?ac。 ?，
bcPBAP4、黄金分割：如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使，那么称线段AB被点P黄?APAB3、比例中项：如果三个数a，b，c满足比例式
金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，比值叫做黄金比。
长短5?1≈0.618 ＝＝全长25、比例式变形：
aca?bc?daa?c???或? bdbdbb?d?ab(交换内项)?c?d，?ac?dc ????，(交换外项)bd?ba?db(同时交换内外项)?c?a．?a2a
例1、如果 ＝ ，那么 ＝＿＿＿＿＿。
b3a＋b
a＋ba3
例2、若＝ ，则的值是( )
b5b8335A、 B、 C、 D、
5528例3、若4x=5y,则x∶y＝ . 例4、若
x?y?zy?z?xxyz＝＝，则∶＝ .
y345x例5、已知
x?yx?3y?zx?yy＝，则的值为 .例6、如果x∶y∶z＝1∶3∶5，那么＝
yx?3y?z137a2a?b?1?，且a?2,b?3，那么? b3a?b?5xyz2x?3y?z? 例8、如果???2，那么
abc2a?3b?c例7、如果
a?bb?cc?a==＝x，求x cab★知识点二：相似三角形
例9、已知
1、定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
★知识点三：相似三角形的判定
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的几种基本图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）
BDAEAED(1)CB(3)C(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、 “蝶型”）
A
EA4DC2BD1EA
2B1E1DC2BC（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂
直型”）
BEEAAEBDCBC(D)ACD(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
D2EBA1C
例1、如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式。
例2、如图，已知△ABC∽△ADE，AE=50 cm，EC=30 cm，BC=70 cm，∠BAC=45°， ∠ACB=40°，求：1）∠AED和∠ADE的度数；2）DE的长。
例3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
例4、如图所示，已知
中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图
中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
例5、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP．
例6、已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点． 求证：△DFE∽△ABC．
★知识点四：相似三角形的性质及其应用
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
例1、△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.
例2、△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若求
例3、如图，已知AB∥CD∥EF,AC=CE=EP,△PAB的面积为18cm，求四边形CDEF的面积。
2，
.
例4、如图，在△ABC在边中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，DE∥BC,DF∥AC.已知
AD2=，BD3SABC?a，求YDFCE的面积。
例5有一块三角形的余料ABC，它的边长BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？
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