信号及其描述习题
1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表1-1对比。
解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)?n????Cen??jn?0t;n?0,?1,?2,?3,???
式中： T0T00??11?jn?t?jn?t?jn?0t0022 Cn?x(t)edt?(?A)edt?AedtT???T0?00TT22?00 ?T0 021??A?jn?0t?1?A?jn?0t? ??ee????T?jn?T?jn?T00?00?0???0
2
?jAjA1?jn?Ajn??1?cosn?????e?e??j
n?n?2n?
2A???j ;n??1,?3,?5,?????n? ?n??2,?4,?6,????0;
所以： ??2A?jn?0t? x(t)?;n??1,?3,?5,?7,?????j?en??n????
幅值频谱：
2A22Cn?CnR?CnI?;n??1,?3,?5,???
n?
相位频谱： ?2A????????;n?1,3,5,??? CnIn????2?n?arctg?arctg? CnR0???;n??1,?3,?5,?????? ???2
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.3求指数函数 x ( ? Ae ? ? t ? ? 0 ; t ? 0 ) 的频谱。 t);( 解：
????A?j2?ft??t?j2?ft X(f)?x(t)edt?Ae?edt???0??j2?f
1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。
?cos?0t;t?T x(t)??t?T ?0;解： ???T?j2?ftX(f)?x(t)edt?cos2?f0te?j2?ftdt ???T ?T1?j2?ft0?e?ej2?f0te?j2?ftdt ?T???????????2???sin?(f?f0)2Tsin?(f?f0)2T??T???(f?f)2T?(f?f0)2T?0???T?sinc??1?sinc??2?
t1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： x ( ? e ? ? 0 t ; ( ? ? 0 , t t)sin?? 0) 的频谱 解： ?j2?ft?????j2?ft??t X(f)?x(t)edt?esin2?f0tedt??0 ??j?j2?f0t??t?e?e?ej2?f0te?j2?ftdt 02
?j?11 ??????j2?(f?f)??j2?(f?f)??200??
1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。
在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什么情况？ 解： ?????j2?ft?X(f)?x(t)edt?f(t)cos2?f0t??e?j2?ftdt ???? ??1?????????????f(t)?e?j2?f0t?ej2?f0t??e?j2?ftdt???2?11?F(2?f?2?f0)?F(2?f?2?f0)22??当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象
2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值
误差将是多少？
解：H????1j???1?10.35?j?1?Y??? X??? A????11??0.35??2?1?0.7??1???7??2
当T=1s时，A??1??0.41，即AY?0.41Ax，误差为59% 当T=2s时，A??2??0.67，误差为33% 当T=5s时，A??3??0.90，误差为8% 2.3求周期信号x?t??0.5cos10t?0.2cos100t?45的装置后所得到的稳态响应。
解： 利用叠加原理及频率保持性解题
???，通过传递函数为H?s??10.05s?1 x?t??0.5sin10t?90 A????????0.2sin?100t?45?
?11?????2?11??0.005??2 ，??????arctg?0.005??
?1?10，A??1??1，???1??2.86
? x?t1??0.5?1?sin10t?90?2.86???? ，
??? ?2?100 ，A??2??0.89 ，???2???26.57 y?t2??0.2?0.89?sin100t?26.57?45 ?y?t??0.5sin10t?87.14??????(?0.178)sin?100t?18.43?
?2.5想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？
解： 由振幅误差
E?|A0?AI|A?1?0?1?A????5%
AIAI ∴ A????95% 即 A????11?????12?95% ，
1??2??100t?2?0.95，??5.23?10?4s
?4当??2?f?2??50?100?，且??5.23?10s时
A????11?5.23?10?4?100???2?98.7%
∴ 此时振幅误差E1?1?98.7%?1.3% ??????arctg5.23?10??4?100???9.3?
?2.10某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比
??0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其振幅比A???和相角差????各为多少？若该装置的阻尼比可改为??0.7，问A???和????又将作何种变化？
解： 作频率为400Hz的正弦力测试时
A????1????1???????n????2?????4?2?????n?12
????2 ?2??400?2?2?400????4??0.14????1???800???800????2
?1.31
???2??????n?? ??????arctg 2???1???????n??400?2?0.14???800?? ??arctg 2?400?1???800?? ??10.6 当阻尼比改为??0.7时 A?????12??400?2?2?400????4??0.7????1???800???800????2?0.97
?400?2?0.7???800??? ??????arctg ??432?400?1???800?? 即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位
差变大。 4.1解 ：
=2m时，
?RU0 4R0单臂，Uy?
Uy?Sg?R??4RU0
2?120?2?10?6Uy?*3?3?10?6(V) 4?120双臂，Uy??RU0 2R0
Uy?Sg?R??2RU0
2?120?2?10?6Uy?*3?6?10?6(V) 2?120
：=2000
m时， 单臂，Uy??RU0 4R0
Uy?Sg?R??4RU0
2?120?2000?10?6Uy?*3?3?10?3(V) 4?120双臂，Uy??RU0 2R0
Uy?Sg?R??2RU0
2?120?2000?10?6Uy?*3?6?10?3(V) 2?120双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。
4.4解：Uy??RU0 R0
Uy?Sg?R??RU0
Uy?Sg?(Acos10t?Bcos100t)?Esin10000t
sk0机械工程测试技术基础课后题
