设抛物线C:y=2x，点A(2,0),B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM=∠ABN．
解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．
11
所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1．
22（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x-2)((k≠0))，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．
2
代y=k(x-2)入y2=2x消去x得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
k
y1y2x2y1+x1y2+2(y1+y2)
直线BM，BN的斜率之和为kBM+kBN=+=．①
x1+2x2+2(x1+2)( x2+2)
y1y2
将x1=+2，x2=+2及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
kk
2y1y2+4k(y1+y2)-8+8
x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0 kk所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以，∠ABM=∠ABN． 21．（12分）
已知函数f(x)=aex-lnx-1．
（1）设x=2是f(x)的极值点．求a，并求f(x)的单调区间； 1
（2）证明：当a≥时，f(x)≥0．
e
1
解：（1）f（x）的定义域为(0,+∞)，f′（x）=aex–．
x
1
由题设知，f′（2）=0，所以a=2．
2e
111
从而f（x）=2ex-lnx-1，f′（x）=2ex-．
2e2ex
当0
x
1e
（2）当a≥时，f（x）≥-lnx-1．
eex
eex1
设g（x）=-lnx-1，则g′（x）=– eex
当0
因此，当a≥时，f(x)≥0．
e
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
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2
题计分。
22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0. （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程. 解：（1）C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4．
（2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
|-k+2|4
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以=2，故k=-或k=0．
3k2+1
4
经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=-时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公
3共点．
|k+2|4
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2=2，故k=0或k=-．
3k+1
4
经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=时，l2与C2没有公共点．
3
4
综上，所求C1的方程为y=-|x|+2．
323．[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围. -2 x<-1
??2x -1≤x≤11
解:（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)=?故不等式 f(x)>1的解集为(,+
2 x>12?? ∞)．
（2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立． 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；
22
若a>0，|ax-1|<1的解集为(0,)，所以≥1，故(0,2]．
aa
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综上，a的取值范围为(0,2]．
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卓顶最新2024年全国高考新课标1卷文科数学试题（解析版）
