当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2+DM2，计算即可．
（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．
【解答】解：（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20． ②显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800， ∴AM＝20
或（﹣20
舍弃）．
当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000， ∴AM＝10
或（﹣10
舍弃）．
或10
．
综上所述，满足条件的AM的值为20
（2）如图2中，连接CD．
由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30， ∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30∵∠AD2C＝135°， ∴∠CD2D1＝90°， ∴CD1＝
＝30
， ，
∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2， ∴∠BAD1＝∠CAD2， ∵AB＝AC，AD2＝AD1， ∴△BAD2≌△CAD1（SAS）， ∴BD2＝CD1＝30
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，
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属于中考常考题型．
24．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF． （1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值． （2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．
（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．
【分析】（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明△FHE≌△MQN（ASA），即可解决问题． （2）由题意：2a≤MN≤k的值最大最大值＝
．
（3）连接FN，ME．由k＝3，MP＝EF＝3PE，推出由△PNF∽△PME，推出
＝
＝
＝3，推出
＝
＝2，
a，a≤EF≤
a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时
，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为
＝2，ME∥NF，设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，
NP＝12m，接下来分两种情形①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．②如图3中，当点N与C重合，分别求解即可． 【解答】解：（1）如图1中，
作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O． ∵四边形ABCD是正方形， ∴FH＝AB，MQ＝BC，
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∵AB＝CB， ∴EH＝MQ， ∵EF⊥MN， ∴∠EON＝90°， ∵∠ECN＝90°，
∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180° ∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°， ∴△FHE≌△MQN（ASA）， ∴MN＝EF， ∴k＝MN：EF＝1．
（2）∵a：b＝1：2， ∴b＝2a， 由题意：2a≤MN≤
a，a≤EF≤
a，
， ．
∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为
（3）连接FN，ME． ∵k＝3，MP＝EF＝3PE， ∴∴
＝＝
＝3，
＝2，∵∠FPN＝∠EPM，
∴△PNF∽△PME， ∴
＝
＝2，ME∥NF，
设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，
①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H．
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∵∠MPE＝∠FPH＝60°， ∴PH＝2m，FH＝2∴＝
②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH＝m，HE＝
m，
＝
＝
m，DH＝10m， ．
∴HC＝PH+PC＝13m， ∴tan∠HCE＝∵ME∥FC，
∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD， ∵∠B＝∠D， ∴△MEB∽△CFD， ∴
＝
＝2， ＝
＝
， 或
．
＝
＝
，
∴＝
综上所述，a：b的值为
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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2019年浙江省绍兴市中考数学试卷及答案解析
