立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明平行与垂直
一、选择题
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则( )． A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确 答案 B
2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0) B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0) C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)
D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)
解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直． 答案 B
3．已知a＝???1，－32，52???，b＝??15?－3，λ，－2???满足a∥b，则λ等于( A.2992
3 B.2 C．－2 D．－3 －35
解析 由1229
－3＝λ＝，可知λ＝. －152
2答案 B
4．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 ( A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 解析 若l∥α，则a·n＝0. 而A中a·n＝－2， B中a·n＝1＋5＝6，
C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0. 答案 D
5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)
D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)
解析 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D.
)． )． 1
答案 D
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )．
62636065A. B. C. D. 7777解析 由题意得c＝ta＋μb ＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
?
∴?5＝－t＋4μ，??λ＝3t－2μ
?7＝2t－μ
??17
∴?μ＝765?λ＝?7
t＝
337
.
答案 D
7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( ) A．(1，－1,1) 3??C.?1，－3，? 2??
3?? B.?1，3，?
2??3?? D.?－1，3，－?
2??
解析 对于选项A，PA＝(1,0,1)，则PA·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于1?1???选项B，PA＝?1，－4，?，则PA·n＝?1，－4，?·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不
2?2???满足PA·n＝0. 答案 B 二、填空题
8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_______． 解析 ∵v2＝－2v1，∴v1∥v2. 答案 平行
9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.
解析 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是 s＝±?0，?
?22?，－?. 22?
2
答案 ±?0，
??22?，－? 22?
→→
→
→
→→
10．已知点A，B，C∈平面α，点P?α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC ＝0的_______． →→??AP·AB＝0
解析 由?→→
??AP·AC＝0→→
→→
→
→→
→→
→
→→→
，得AP·(AB－AC)＝0，
→→
即AP·CB＝0，亦即AP·BC＝0， 反之，若AP·BC＝0，
→→
则AP·(AC－AB)＝0?AP·AB＝AP·AC，未必等于0. 答案 充分不必要条件
→
11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________． 解析 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)． →??AB·n＝0，则?→??AC·n＝0，
??2x＋2y＋z＝0，
即???4x＋5y＋3z＝0.
1??x＝，
令z＝1，得?2
??y＝－1，
?1?∴n＝?，－1，1?，
?2?
22?n?1
＝±?，－，?.
33?|n|?3
∴平面ABC的单位法向量为±22??1
答案 ±?，－，?
33??3
→→→→→
12．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________． →→→→
解析 由题知：BP⊥AB，BP⊥BC.
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2014届高三数学一轮复习 立体几何中的向量方法(Ⅰ)证明平行与垂直提分训练题
