练习15、分解因式
(x?1)4?(x2?1)2?(x?1)4 (3)(2)x4?7x2?1 4)x4?x2?2ax?1?a2
第二部分:习题大全 经典一: 一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。 2分解因式: m3-4m= . 3.分解因式: x2-4y2= __ _____.
24、分解因式:?x?4x?4=___________ ______。
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为 .
2222xy?xy2x?2yx?y?5,xy?66、若,则=_________,=__________。
二、选择题
322237、多项式15mn?5mn?20mn的公因式是( ) 22225mn5mn5mn5mnA、 B、 C、 D、
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( )
a?3??a?3??a2?9a2?b2??a?b??a?b??A、 B、
3??m2?2m?3?m?m?2??a?4a?5?a?a?4??5m? ?C、 D、
210.下列多项式能分解因式的是( )
(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4 11.把(x-y)2-(y-x)分解因式为( ) A.(x-y)(x-y-1) B.(y-x)(x-y-1) C.(y-x)(y-x-1) D.(y-x)(y-x+1) 12.下列各个分解因式中正确的是( ) A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c) B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)
D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)=(a-2b)(11b-2a)
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式,那么k应为( ) A.2 B.4 C.2y2 D.4y2 三、把下列各式分解因式:
22 14、nx?ny 15、4m?9n
2
16、
18、
五、解答题
m?m?n??n?n?m?322 17、a?2ab?ab
?x2?4??16x22229(m?n)?16(m?n) 19、;
20、如图,在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中,挖去一个边长b=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。
21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径d?45cm,外径D?75cm,长l?3m。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土?(?取3.14,结果保留2位有效数字)
l
D d 22、观察下列等式的规律,并根据这种规律写出第(5)个等式。 (1) x2?1??x?1??x?1?
(2) x4?1??x2?1??x?1??x?1?(3) x8?1??x4?1??x2?1??x?1??x?1?(4) x16?1??x8?1??x4?1??x2?1??x?1??x?1?(5) _________________________________________________
经典二:
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式;
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式; 5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式;
6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解; 7. 因式分解的一般步骤是:
(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;
下面我们一起来回顾本章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x5?x4?x3?x2?x?1
分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把x5?x4?x3和?x2?x?1分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;也可把x5?x4,x3?x2,x?1分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。 解一:原式?(x5?x4?x3)?(x2?x?1)
?x3(x2?x?1)?(x2?x?1) ?(x3?1)(x2?x?1)?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)
解二:原式=(x5?x4)?(x3?x2)?(x?1)
?x4(x?1)?x2(x?1)?(x?1)
?(x?1)(x4?x??1)?(x?1)[(x?2x?1)?x]?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)422
2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x3?3x2?4 解一:将3x2拆成2x2?x2,则有
原式?x3?2x2?(x2?4)?x2(x?2)?(x?2)(x?2)?(x?2)(x?x?2)?(x?1)(x?2)22
解二:将常数?4拆成?1?3,则有
原式?x3?1?(3x2?3)?(x?1)(x2?x?1)?(x?1)(3x?3)?(x?1)(x?4x?4)?(x?1)(x?2)22
3. 在证明题中的应用
例:求证:多项式(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非负数
分析:现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。 证明:(x2?4)(x2?10x?21)?100
?(x?2)(x?2)(x?3)(x?7)?100 ?(x?2)(x?7)(x?2)(x?3)?100
?(x2?5x?14)(x2?5x?6)?100 设y?x2?5x,则
原式?(y?14)(y?6)?100?y2?8y?16?(y?4)2 ?无论y取何值都有(y?4)2?0?(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非负数
4. 因式分解中的转化思想
例:分解因式:(a?2b?c)3?(a?b)3?(b?c)3
分析:本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c的关系,努力寻找一种代换的方法。
解:设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B
?原式?(A?B)3?A3?B3?A3?3A2B?3AB2?B3?A3?B3 ?3A2B?3AB2?3AB(A?B)?3(a?b)(b?c)(a?2b?c)
说明:在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
在?ABC中,三边a,b,c满足a2?16b2?c2?6ab?10bc?0 求证:a?c?2b
1. 若x为任意整数,求证:(7?x)(3?x)(4?x2)的值不大于100。
2. 将a2?(a?1)2?(a2?a)2分解因式,并用分解结果计算62?72?422。
因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)29776
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