所以(??+??)2≤2??2+2??2， 则??2+??2≥1
2，故??正确；
??，要证2?????>12，只需证明?????>?1即可，即??>???1， 由于??>0，??>0且??+??=1， 所以 ??>0，???1<0，故??正确； ??，log2??+log2??=log2????≤log??+??2(
)22
=?2，
当且仅当??=??=1
2时，等号成立，故??错误； ??，因为(√??+√??)2
=1+2√????≤1+??+??=2，
所以√??+√??≤√2，当且仅当??=??=1
2时，等号成立，故??正确． 故选??????． 【答案】 B,C,D 【考点】
二项式定理及相关概念 二项式定理的应用 二项式系数的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(????2+1)??
的展开式的通项公式为????+1=??????(????2)?????(1)??=???????????2???5
??√??√??????2，
∴ 第5项系数为?????4????4，第7项的系数为?????6????6
， 由第5项与第7项的系数相等，可知??=10，
又∵ 展开式的各项系数之和为1024，即当??=1时，(??+1)10=1024，解得??=1， 展开式中奇数项的二项式系数和为2???1=512，故??错误；
由??=10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，故??正确；
当2???5
2??=0时，即??=8时，展开式中存在常数项，故??正确；
当2???5
??=15时，??=2，系数为18??102
2=45，故??正确.
故选??????. 三、填空题 【答案】 10
【考点】
二项式定理的应用 【解析】
由??54(2??)1(√??)4=10??3，可得到答案． 【解答】
第11页 共24页解：(2??+√??)5
的通项公式为??5??
(2??)5???(√??)??(??=0，1，2，3，4，5)，
由5???+1
2??=3可得：??=4，
故??54(2??)1(√??)4=10??3， 所以展开式中??3的系数为10． 故答案为：10. 【答案】 0.18
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式 相互独立事件
【解析】
此题暂无解析 【解答】
解：如果前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108， 如果前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072， 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是??=0.108+0.072=0.18． 故答案为：0.18. 【答案】 1
【考点】 导数的运算 【解析】
先求出函数的导数，再根据??′(1)=??
4，求得??的值. 【解答】
解：∵ ??(??)=????
??+??， ∴ ??′(??)=????(??+??)?????
????(??+???1)(??+??)2=
(??+??)2
.
∵ ??′(1)=
??1(1+???1)(1+??)2=??
4
，
解得??=1. 故答案为：1. 【答案】 120,72
【考点】
排列、组合及简单计数问题 【解析】
对于第一空：由排列数公式计算可得答案；
对于第二空：分两步进行分析：四位数的个位可以为1，3，5，其选法有3种，在剩下的4个数字中任取3个数，进行全排列，安排在千位、百位、十位，由分步计算原理计算可答案． 【解答】
解：根据题意，对于第一空：从1,2,3,4,5这五个数字中任取4个数，进行全排列，
第12页 共24页
◎ 有??45=120种情况，即可以有120个符合题意的四位数； 对于第二空：要求四位数为奇数，则个位的选法有3种， 在剩下的4个数字中任取3个数，进行全排列， 安排在千位、百位、十位，有??34=24种情况， 则有3×24=72个四位奇数. 故答案为：120；72． 四、解答题
【答案】
解：(1)记“甲出线”为事件??，“乙出线”为事件??，“丙出线”为事件??， “甲、乙、丙至少有一名出线”为事件??． 则??(??)=1???(??????ˉ
)=1?1
1
2
29
3×4×5=30. (2)??的所有可能取值为0，1，2，3. ??(??=0)=??(??????ˉ
)=
130；
??(??=1)=??(??????ˉ)+??(??ˉ
????ˉ
)+??(????ˉ
??)=
1360；
??(??=2)=??(??????ˉ
)+??(????ˉ
??)+??(??ˉ
????)=9
20； ??(??=3)=??(??????)=3
10． 所以??的分布列为
?? 0 1 2 3 ?? 130 1360 920 310 ????=0×
130
+1×
13312160
+2×
920
+3×
10
=
60
．
【考点】
对立事件的概率公式及运用 相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量及其分布列
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)记“甲出线”为事件??，“乙出线”为事件??，“丙出线”为事件??， “甲、乙、丙至少有一名出线”为事件??． 则??(??)=1???(??????ˉ
)=1?1
1
2
29
3×4×5=30. (2)??的所有可能取值为0，1，2，3. ??(??=0)=??(??????ˉ
)=130；
??(??=1)=??(??????ˉ
)+??(??ˉ
????ˉ
)+??(????ˉ
??)=13
60；
第13页 共24页??(??=2)=??(??????ˉ)+??(????ˉ??)+??(??ˉ
????)=9
20； ??(??=3)=??(??????)=3
10． 所以??的分布列为
?? 0 1 2 3 ?? 130 1360 920 310 ????=0×1
13
30+1×60+2×9
3
20+3×10=
12160
．
【答案】
解：(1)由题意可知：2??1=??2+??3，即2??1=??1??+??1??2. 因为??1≠0，故??2+???2=0， 解得??=?2或??=1（舍）.
(2)由(1)知????=??1?????1=(?2)???1， 记数列{??????}的前??项和为????，
则????=1×(?2)0+2×(?2)1+?+??×(?2)???1①， ?2????=1×(?2)1+2×(?2)2+?+??×(?2)??②， ①?②得：
3????=(?2)0+(?2)1+(?2)2+?+ (?2)???1???×(?2)?? (?2)??=?1?2?1???×(?2)??
=(????1
1
3)?(?2)??+3，
∴ ????=(?111
3???9)?(?2)??+9. 【考点】 等差中项 数列的求和 等比数列的通项公式
【解析】
(1)根据等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比??；
(2)由(1)易得????，??????，从而可得????，?2????，运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简整理得最后答案．
【解答】
解：(1)由题意可知：2??1=??2+??3，即2??1=??1??+??1??2. 因为??1≠0，故??2+???2=0， 解得??=?2或??=1（舍）.
(2)由(1)知????=??1?????1=(?2)???1， 记数列{??????}的前??项和为????，
则????=1×(?2)0+2×(?2)1+?+??×(?2)???1①，
第14页 共24页
◎
?2????=1×(?2)1+2×(?2)2+?+??×(?2)??②， ①?②得：
3????=(?2)0+(?2)1+(?2)2+?+ (?2)???1???×(?2)?? =(?2)???1?2?1???×(?2)??
=(????1
1
3
)?(?2)??+3
，
∴ ????=(?111
3???9)?(?2)??+9. 【答案】
(1)证明：连接????，??1??，
在△??1????中，??，??为????1和????中点， ∴ ????//??1??，且????=1
2??1??.
∵ ??//
1??=??1??且??为??1??的中点， ∴ ????=1
2??1??=????.
∴ ????//????且????=????， ∴ 四边形????????是平行四边形， ∴ ????//????.
∵ ?????平面??1????且?????平面??1????， ∴ ????//平面??1????.
(2)解：取????与????的交点??，四边形????????是菱形， ∴ ????⊥????，
以????为??轴，????为??轴，过原点??平行于????1的直线为??轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
第15页 共24页
∴ ??(√3,0,0)???(0,1,2)，??1(√3,0,4),???(√31
2,?2,2), ∴ ????→
→
→
1=(√3,?1,2)，????=(√3,?1,?2)，????=(√33
2,?2,0). 设??→
=(??→
1,??1,??1)，??=(??2,??2,??2)
分别为平面??????1和平面????1??的一个法向量，
→
→
∴ {???????1=0，??→?????→=0，
当??→
1=1时，??=(1,√3,0)， ??→
?????→
∴ {1=0，→???????→=0，
当??→
2=√3时，??=(√3,1,?1)， ∴ cos???→,??→
?=
??→???
→
|??→|?|??→|
=
√3+√3+0 √1+(√3)2+0?√(√3)2+1+1
=
√155
， ∴ sin???→,→
???=√1?
(√152=
√105)5
, ∴ 二面角???????1???的正弦值为√105
. 【考点】
二面角的平面角及求法
第16页 共24页
◎
直线与平面平行的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】
(1)证明：连接????，??1??，
在△??1????中，??，??为????1和????中点， ∴ ????//??1??，且????=1
2??1??. ∵ ??//
1??=??1??且??为??1??的中点， ∴ ????=12??1??=????. ∴ ????//????且????=????， ∴ 四边形????????是平行四边形， ∴ ????//????.
∵ ?????平面??1????且?????平面??1????， ∴ ????//平面??1????.
(2)解：取????与????的交点??，四边形????????是菱形， ∴ ????⊥????，
以????为??轴，????为??轴，过原点??平行于????1的直线为??轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
第17页 共24页∴ ??(√3,0,0)???(0,1,2)，??1(√3,0,4),???(
√312,?2,2), ∴ ????→
????→
=(√3,?1,?2)，????→
1=(√3,?1,2)，=(√33
2,?2,0). 设??→=(??→
1,??1,??1)，??=(??2,??2,??2)
分别为平面??????1和平面????1??的一个法向量， →
→
∴ {???????1=0，??→?????→=0，
当??→
1=1时，??=(1,√3,0)，
→
→
∴ {???????1=0，→???????→=0，
当??→
2=√3时，??=(√3,1,?1)， ∴ cos???→,??→
?=
??→???
→
|??→|?|??→|
=
√3+√3+0
√1+(√3)2+0?√(√3)2+1+1
=
√155
， ∴ sin???→,→
???=√1?(√152√105
)=5
,
∴ 二面角???????1???的正弦值为
√105
. 【答案】
解：(1)当??=1时， ??(??)=????+??2???， 所以??′(??)=????+2???1， ??″(??)=????+2>0，
所以函数??′(??)在R上单调递增. 注意到??′(0)=0，
所以当??∈(?∞,0)时， ??′(??)<0， 当??∈(0,+∞)时， ??′(??)>0，
所以函数??(??)在(?∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增． (2)当??≥0时，??(??)≥1
2??3+1恒成立， ①当??=0时， ??∈R；
1②当??>0时，即??≥
2
??3
+??+1???????2恒成立，
第18页 共24页
◎ 记?(??)=
13
??+??+1?????2
??2 ，
123??
①当??=0时， ??∈R； ②当??>0时，即??≥记?(??)=
′(
13
??+??+1?????2
??213
??+??+1?????2??2
所以?′(??)=
??
(2???)(???????2????1)
恒成立，
，
记??(??)=???2??????1， 因为当??≥0时， ??′(??)=????????1，
??′′(??)=?????1≥0恒成立，
所以??′(??)在(0,+∞)上单调递增， 所以[??′(??)]min=??′(0)=0， 所以??′(??)≥0恒成立，
所以??(??)在(0,+∞)上单调递增， 所以[??(??)]min=??(0)=0， 由??(??)≥0，
可得：???????2????1≥0恒成立，
21
1
2
，
12??3所以???)=
(2???)(???????2????1)
，
记??(??)=?????2??2????1， 因为当??≥0时， ??′(??)=????????1，
??′′(??)=?????1≥0恒成立，
所以??′(??)在(0,+∞)上单调递增， 所以[??′(??)]min=??′(0)=0， 所以??′(??)≥0恒成立，
所以??(??)在(0,+∞)上单调递增， 所以[??(??)]min=??(0)=0， 由??(??)≥0，
可得：?????2??2????1≥0恒成立，
令?′(??)=0可得??=2，
当??∈(0,2)时，?′(??)>0，?(??)在(0,2)上单调递增，
当??∈(2,+∞)时，?′(??)<0，?(??)在(2,+∞)上单调递减， 所以[?(??)]max=?(2)=
7???24
1
1
令?′(??)=0可得??=2，
当??∈(0,2)时，?′(??)>0，?(??)在(0,2)上单调递增，
当??∈(2,+∞)时，?′(??)<0，?(??)在(2,+∞)上单调递减， 所以[?(??)]max=?(2)=所以??≥
7???24
7???24
，
，
7???24
，
综上，??的取值范围为[,+∞).
所以??≥
7???24
，
7???24
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性
【解析】
(1)先求出??=1时，??(??)的解析式，然后对??(??)求导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可得到所求单调性；
(2)分类讨论：当??=0时，不等式恒成立；当??>0时，运用参数分离和构造函数建立新函数，然后求新函数的导数，利用导数判断单调性和最值，进而得到参数的取值范围． 【解答】
解：(1)当??=1时， ??(??)=????+??2???， 所以??′(??)=????+2???1， ??″(??)=????+2>0，
所以函数??′(??)在R上单调递增. 注意到??′(0)=0，
所以当??∈(?∞,0)时， ??′(??)<0， 当??∈(0,+∞)时， ??′(??)>0，
所以函数??(??)在(?∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增． (2)当??≥0时，??(??)≥2??3+1恒成立，
1
综上，??的取值范围为[,+∞).
【答案】
解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中????2.5浓度不超过75，且????2浓度不超过$150\的概率 ??=
32+18+6+8
100
=0.64.
(2)根据所给数据，可得下面的2×2列联表：
[0,150] [0,75] (75,115] (3)根据(2)中的列联表， 由??2=(??+??)(??+??)(??+??)(??+??) ??(?????????)2
(150,475] 64 10 16 10 第19页 共24页 ◎ 第20页 共24页
2020-2021学年湖北潜江高三上数学月考试卷 - 图文
