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高等数学竞赛 不定积分
不定积分的概念与性质
1、设f?(sinx)?cos2x?tanx(0?x?1)，求f(x)
222、设f?(lnx)?1?x，求f(x)
3、已知f?(?x)?x[f?(x)?1]，试求函数f(x) 利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; (1)
sinx?cosxcos2x1dx（2）（3）（4）dxdx?1?sinxcosx?x2?2x?5?sin2x?2cos2x?(cosx?sinx)5dx
322、求下列不定积分 （1）
?(x?x)e(x?3x?1)edx （2）?(xlnx)(lnx?1)dx
2x2xarctan（3）
?1?x21xdx （4）
lnx?2cos2x?sinx （5）dx?xlnx(1?xln2x)dx ?cosx(1?cosxesinx)二、利用第二换元积分法求不定积分
1、三角代换求下列积分 （1）
?(xxdx2?1)1?x2 （2）
?x3dx(1?x)232 （3）
?x2?9dxdx （4）?1?1?x2 x22、倒代换（即令x?）求下列积分 （1）
1t?x2dxa2?x2x(a?0) （2）?dx 7x(x?2)3、指数代换（令a?t,则dx?1dt?） lnatdx1?e?e?e3x2x3x62xdx（1）? （2）?xx1?2?44、利用分部积分法求不定积分
（1）(x?1)edx （2）(x?2x?5)cos2xdx （3）xarccosxdx （4）x(lnx)dx （5）ecosxdx
可编辑
???22x?2?32x.
5、建立下列不定积分的递推公式 （1）In?1n?(x2?a2)ndx （2）In??tanxdx
有理函数的积分 1、求下列不定积分 （1）
dxdxx?2 （2） （3）dx?x(x?1)2?(1?2x)(1?x2) ?x2?4x?32、求下列不定积分
x2n?1dx2x3?1dx （3）?（1）? （2）?ndx （4）100x(2?x10)x?1(x?1)简单无理函数积分 1、
?x11dxx8?3x
?1x?x3dx 2、?x(x?1)x?x?1dx
三角有理式积分 1、4、
?1?sinxdx 2、?1sinx 3、dx?1?sinxdx
sin3xx?sinx56?1?cosxdx 5、?sin4xcos2xcos3xdx 6、?sinxcosxdx
含有反三角函数的不定积分
x2arccosxarctanxdx1、? 2、dx 2?231?x(1?x)抽象函数的不定积分
?f(x)f2(x)f??(x)?f?(lnx)1、?? 2、?dxdx ?3???[f(x)]xf(lnx)?f(x)?分段函数的不定积分
x?0;?1,?例如：设f(x)??x?1,0?x?1; 求?f(x)dx.
?2x,x?1?
可编辑
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高等数学竞赛 定积分
比较定积分大小 1、 比较定积分2、 比较定积分
?211lnxdx和?(lnx)2dx的大小
12?0ln(1?x)dx和?arctanxdx的大小
01?x1利用积分估值定理解题 一、估值问题 1、试估计定积分
???5?4(1?sin2x)dx的值
43332、试估计定积分二、不等式证明
xarctanxdx的值
1、证明不等式：1?2、证明不等式：2?三、求极限
121、
n???0?10exdx?e
2?1?11?x4dx?8 3lim?nx1xexndx 2、lim?dx
n???01?ex1?x2关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题
1、求下列导数： （1）F(x)??y0x3dt1?tt24x2；
（2）由方程
?edt??x2sintt0dt?1确定的隐函数y?f(x)的导数
dy dx2、设f(x)在[0,??)上连续且满足
?x2(1?x)0f(t)dt?x，求f(2)
3、设f(x)为关于x的连续函数，且满足方程
?x0x16x18f(t)dt??tf(t)dt???C，求
x8912f(x)及常数C.
4、求下列极限：
?（1）limx??0x20tesintdtxe6xt （2）lim?x??0?x0(1?cost2)dtx52
可编辑
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5、设f(x)是连续函数，且f(x)?x?28?10f(t)dt，求f(x).
206、已知f?(x)?f(x)dx?8且f(0)?0，求?f(x)dx及f(x)
0定积分的计算
一、分段函数的定积分
l?kx,0?x??2;求?(x)?xf(t)dt 1、设f(x)???0l?c,?x?l,2?2、求定积分
?2?2max(x,x2)dx
二、被积函数带有绝对值符号的积分
1、求下列定积分： （1）
?e1elnxdx （2）?tt?xdt
01?2、求定积分
??2?cosx?cos3xdx的值
2三、对称区间上的积分
sin3x)dx 1、设f(x)在[?a,a]上连续，计算?x(x??11?cosx122、设f(x)在(??,??)上连续，且对任何x,y有f(x?y)?f(x)?f(y)，计算
?1?1(x2?1)f(x)dx
?2sinx3、计算积分I??4?dx
?1?e?x44、设f(x),g(x)在区间[?a,a](a?0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件
f(x)?f(?x)?A（A为常数）.
（1）证明：
?a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx
0a?(2) 利用（1）的结论计算定积分四、换元积分法 1、求下列定积分：
??sinxarctanedx
2?2x可编辑
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（1）
?1214arcsinxx(1?x)dx （2）?ln201?e?2x1010sinx?cosxdx （3）?2dx
04?sinx?cosx?五、分部积分
1、设f(x)有一个原函数为
?sinx，求??xf?(x)dx x22、
?30arcsinxxdx 1?x3、
ln(1?x)?0(2?x)2dx
1积分等式的证明
一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件） 1、若函数f(x)连续，证明： （1）（2）
??a0b1a2xf(x)dx??xf(x)dx
2032af(x)dx?(b?a)?f[a?(b?a)x]dx
0111xdx?（3）??11?x2dx x1?x2112、设f(x)连续，求证
??0xf(sinx)dx??2??0f(sinx)dx，并计算??0xsin3xdx 21?cosx3、设f(x)连续，且关于x?T对称，a?T?b，z证明：
?baf(x)dx?2?f(x)dx??Tb2T?baf(x)dx
（提示：f(x)关于T对称，即f(T?x)?f(T?x)）
二、分部积分法（适用于被积函数中含有f?(x)或变上限积分的命题） 例：设f?(x)连续，F(x)??f(t)f?(2a?t)dt，证明：
0x F(2a)?2F(a)?f(a)?f(0)f(2a)
2三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点?或x0使等式成立的命题） 解题思路：（1）将?或x0改成x，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数F(x)或F?(x)。
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高等数学竞赛题库.不定积分与定积分
