高三数学二轮复习专题3： 《函数与导数》 [专题内容]
1、函数与导数的基础知识、基本方法归纳梳理；
2、三个基本问题（函数的三要素问题；函数的性质及图象应用问题；利用导数研究函数的性质问题）的解决方法与途径； [知识归纳]
要点1、函数的三要素（定义域、值域、对应法则）：
①掌握求函数定义域的原则及规律：列表法、图象法、解析式、实际问
题、复合函数的定义域。 [范例1](06,湖北,4)设f(x)?lgx2x?2,则f()?f()的定义域为______.
2x2?x②掌握求函数值域的基本方法，如直接法、二次函数法、反函数法、换元
法、配方法、判别式法、图象法、数形结合法、不等式法、导数法等。 [范例2]（08，宣武）定义在N上的函数f(x)满足f(1)?1，且
*?1?f(n),n为偶数 则f(22)?__________. f(n?1)??2??f(n),n为奇数[范例3]已知f(x)?2?log3x,x?[1,9]，试求函数y?[f(x)]?f(x)的值域。
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③掌握求函数解析式的基本方法（待定系数法、换元法及实际问题）。
2[范例4]已知f(?1)?lgx，求f(x)。
x
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要点2、函数的性质：
① 函数的单调性：（重点掌握单调性的概念、判断方法、复合函数的单调
性）。
◆定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。 ◆判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）；导数法（适用于多项式函数）；复合函数法和图像法。
◆应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
[范例5](07,安徽江南十校)已知f(x)???(2?a)x?1,x?1?a,x?1x是R上的增函
数，则a的取值范围是______.
② 函数的奇偶性:(重点掌握函数奇偶性概念、判断方法、图象的特点)。
◆定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) －f(-x)=0? f(x) =f(-x) ?f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0? f(x) =－f(-x) ?f(x)为奇函数。
◆判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 ◆应用：把函数值进行转化求解。
③函数的周期性：（掌握周期函数的定义、判断方法、图象性质）。
◆定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则
T为函数f(x)的周期。
◆其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.
◆应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
a?b◆若f(x?a)?f(b?x)，则f(x)的对称轴为x?。
2[范例6]设f(x)是定义域为R的偶函数，其图象关于直线x?1对称，对任意x1,x2?[0,]都有f(x1?x2)?f(x1)f(x2)。
（1）设f(1)?2，求f(),f()； （2）证明函数f(x)是周期函数。
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121214④反函数：（掌握反函数的定义、求反函数的步骤、原函数与反函数图象之间的关系、定义域与值域的关系）。
◆定义：
◆函数存在反函数的条件： ； ◆互为反函数的定义域与值域的关系： ； ◆求反函数的步骤：①将y?f(x)看成关于x的方程，解出
x?fy?f?1(y)，若有两解，要注意解的选择；②将x,y互换，得(x)；③写出反函数的定义域（即y?f(x)的值域）。
?1◆互为反函数的图象间的关系： ；
◆原函数与反函数具有相同的单调性；
◆原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数， 它一定不存在反函数。 ◆f(a)?b?f?1(b)?a。
[范例7]（07，天津）函数y?log2(x?4?2)(x?0)的反函数为____.
[范例8]已知f（x）?2x?3，函数y?g（x）的图象与x?11y?f?（x?1）的图象关于直线y?x对称，求g（的值。 11）
要点3、常用的初等函数：
y?ax?b(a?0)，①一元一次函数：当a?0时，是增函数；当a?0时，是减函数；
②一元二次函数：
◆一般式：y?ax2?bx?c(a?0)；对称轴方程是 ；顶点为 ；
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◆两点式：y?a(x?x1)(x?x2)；对称轴方程是 ；与x轴的交点为 ；
◆顶点式：y?a(x?k)2?h；对称轴方程是 ；顶点为 ； ◆一元二次函数的单调性：
当a?0时： 为增函数； 为减函数；当a?0时： 为增函数； 为减函数；
◆二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为
y?a(x?k)2?h的形式，
◆◆若顶点的横坐标在给定的区间上，则a?0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；a?0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； ◆◆若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
a?0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
a?0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； ◆三个类型题型：
(1)顶点固定，区间也固定。如：y?x2?x?1,x?[?1,1] (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数． [例8]求函数y?x2?x?1,x?[a,a?1]的值域。
◆ 二次方程实数根的分布问题：
设实系数一元二次方程f(x)?ax2?bx?c?0的两根为x1,x2；则：
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根的情况 x1?x2?k 在区间(k,??)上有两根 x1?x2?k 在区间(??,k)上有两根 x1?k?x2 在区间(k,??)或等价命题 (??,k)上有一根 充要条件 注意：若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)?0有实数解的情况，
可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结
果，在令x?n和x?m检查端点的情况。
ac◆反比例函数：y?(x?0)?y?a?
xx?b◆指数函数：y?ax(a?0,a?1)
◆◆指数运算法则： ； ； 。 ◆◆指数函数：y=ax (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0 况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。 ◆对数函数：y?logax(a?0,a?1) ◆◆对数运算法则： ； ； ； ◆◆对数函数：y=logax (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0 ◆比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。 5 / 16
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