12.8 离散型随机变量及其分布列
典例精析
题型一 离散型随机变量的分布列
【例1】设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 0.3 求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列. 【解析】首先列表如下：
X 2X＋1 |X－1| 从而由上表得两个分布列如下： 2X＋1的分布列：
2X＋1 P |X－1|的分布列：
|X－1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3 【点拨】由于X的不同的值，Y＝f(X)会取到相同的值，这时要考虑所有使f(X)＝Y成立的X1，X2，…，Xi的值，则P(Y)＝P(f(X))＝P(X1)＋P(X2)＋…＋P(Xi)，在第(2)小题中充分体现了这一点.
【变式训练1】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过渡区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和11
受B感染的概率都是，同样也假定D受A、B、C感染的概率都为，在这种假定之下，B、C、
23D中受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X分布列，并求均值.
【解析】依题知X可取1、2、3， 111
P(X＝1)＝1×(1－)×(1－)＝，
233
11111
P(X＝2)＝1×(1－)×＋1××(1－)＝，
23232111
P(X＝3)＝1××＝，
236所以X的分布列为
X P 1 2 3 13 11111均值E(X)＝1×3＋2×2＋3×6＝6.
12 16 题型二 两点分布
?1,针尖向上,?0,针尖向下,【例2】在掷一枚图钉的随机试验中，令ξ＝?如果针尖向上的概率为p，试写
出随机变量ξ的分布列.
【解析】根据分布列的性质，针尖向下的概率是1－p.于是，随机变量的分布列是
ξ P 0 1－p 1 p 【点拨】本题将两点分布与概率分布列的性质相结合，加深了两点分布的概念的理解. ?0,失败,?1,成功【变式训练2】 若离散型随机变量ξ＝?的分布列为：
ξ P 0 9c2－c 1 3－8c (1)求出c；
(2)ξ是否服从两点分布？若是，成功概率是多少？ 12
【解析】(1)由(9c2－c)＋(3－8c)＝1，解得c＝或.
331
又9c2－c≥0,3－8c≥0，所以c＝.
31
(2)是两点分布.成功概率为3－8c＝.
3
题型三 超几何分布
【例3】 有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品数 X 的分布列.
【解析】X的所有可能取值为 0,1,2,3，X＝0表示取出的5件产品全是正品， C03C57211
P(X＝0)＝＝＝；
C51025212
X＝1表示取出的5件产品有1件次品4件正品， C13C471055
P(X＝1)＝＝＝；
C51025212
X＝2表示取出的5件产品有2件次品3件正品， C23C371055
P(X＝2)＝＝＝；
C51025212
X＝3表示取出的5件产品有3件次品2件正品， C33C27211
P(X＝3)＝＝＝.
C51025212所以X的分布列为 X P 0 1 2 3 112 512 512 112 【点拨】在取出的5件产品中，次品数X服从超几何分布，只要代入公式就可求出相应的概率，关键是明确随机变量的所有取值.超几何分布是一个重要分布，要掌握它的特点.
【变式训练3】一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( ) A.
1
220
27B. 55
C.27
220
D.21 25
C23C1927
【解析】由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.选C.
C312220总结提高
1.求离散型随机变量分布列的问题，需要综合运用排列、组合、概率等知识和方法. 2.求离散型随机变量ξ的分布列的步骤：
(1)求出随机变量ξ的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…)； (2)求出各取值的概率P(ξ＝xi)＝pi； (3)列出表格.
高考数学一轮总复习离散型随机变量及其分布列教案理新人教A版
