（1）定理的表示形式：asinA?bsinB?csinC?a?b?c ?k?k?0?；
sinA?sinB?sinC或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0) （2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。 ●板书设计 ●授后记
课题: §1.1.2余弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方
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法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和?C，求边c b a
A c
B
(
图1．1-4) Ⅱ.讲授新课
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[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则 b
c
rrrrrrc?c?c?a?ba?brrrrrr ?ab?b?r2ar?br?2a?r2 ?a?b?2a?b2uurruurruurrrrrrrr???? C a
rB
从而 c2?a2?b2?2abcosC (图1．1-5) 同理可证 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
c2?a2?b2?2abcosC
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b2?c2?a2cosA?2bca2?c2?b2cosB?2ac
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b2?a2?c2cosC?2ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析]
例1．在?ABC中，已知a?2⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB
=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450 6?2)2?43(3?1)
3，c?6?2，B?600，求b及A
=12?(=8 ∴b?22.
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b2?c2?a2(22)2?(6?2)2?(23)21?, ⑵解法一：∵cosA?2bc?22?22?(6?2)
0∴A?60.
a2解法二：∵sinA?bsinB?3?sin450, 22又∵6?2＞2.4?1.4?3.8,
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23＜2?1.8?3.6,
∴a＜c，即00＜A＜900,
0∴A?60.
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解） 解：由余弦定理的推论得：
b2?c2?a2cosA?2bc
87.82?161.72?134.62 ?2?87.8?161.7?0.5543, A?56020?；
c2?a2?b2cosB?2ca
134.62?161.72?87.82 ?2?134.6?161.7?0.8398, B?32053?；
? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200） Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及
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2024年人教版高中数学必修五全册精品教案(精华版)
