定积分的概念
我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。
设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。如下图所示：
现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？
我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。
显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。 定积分的概念
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0 [x0，x1]，[xn-1,xn], 在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi， 并作出和确定的极限I， 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作 。 ， ...... 如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于 即：关于定积分的问题 我们有了定积分的概念了，那么函数f(x)满足什么条件时才可积？ 定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。 （2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 定积分的性质 性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差）. 即： 性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面. 即： 性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则 ≤ （a ≤M(b-a) 性质(4)：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)≤ 性质(5)：如果f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使下式成立： =f(ξ)(b-a) 注：此性质就是定积分中值定理。 微积分积分公式 积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分 ,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x): 注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关） 定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数 在[a,b]上具有导数， 并且它的导数是 (2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数 （a≤x≤b) 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。 注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 牛顿--莱布尼兹公式 定理(3)：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 注意：此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系。 它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量。因此 它就 给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。 例题：求 解答：我们由牛顿-莱布尼兹公式得： 注意：通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式。 定积分的换元法与分部积分法 定积分的换元法 我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分。 定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m,n]上变化时，x=g(t)的值在[a,b]上变化，且g(m)=a,g(n)=b；则有定积分的换元公式: 例题:计算 解答:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.于是： 注意：在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。 定积分的分部积分法 计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分部积分法。 设u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u'(x)、v'(x)，则有(uv)'=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的 定积分，并移向得： 上式即为定积分的分部积分公式。 例题：计算 解答：设 ，且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得： t t 再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=edt,则du=dt,v=e.于是： 故： 广义积分 在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。 一：积分区间为无穷区间的广义积分 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a.如果极限 则此极限叫做函数f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积分， 存在， 记作：， 即： 此时也就是说广义积分同样的记号，但它已不表示数值了。 类似地，设函数f(x)在区间(-∞，b]上连续，取a =. 发散，此时虽然用 收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分 则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分， 存在， 记作：， 即：=. 此时也就是说广义积分 如果广义积分的广义积分， 和 收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分发散。 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上 记作： 即： 上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。 ， = 例题：计算广义积分 解答： 二：积分区间有无穷间断点的广义积分 设函数f(x)在(a,b]上连续，而.取ε>0，如果极限 在(a,b]上的广义积分， 存在，则极限叫做函数f(x) 仍然记作：. 即： 这时也说广义积分 =， 发散。 收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分 .取ε>0，如果极限 类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而 则定义 = 存在， ；
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