长沙理工大学模拟试卷第六套
概率论与数理统计试卷
姓名: 班级: 学号: 得分: 一 是非题（共7分，每题1分）
1．设A,B,C为随机事件，则A与A?B?C是互不相容的 （ ） 2．F(x)是正态随机变量的分布函数，则F(?x)?1?F(x) （ ） 3．若随机变量X与Y独立，它们取1与?1的概率均为0.5，则X?Y（ ） 4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布 （ ）
22?X 5. 样本均值的平方不是总体期望平方的无偏估计 （ ） 6．在给定的置信度1??下，被估参数的置信区间不一定惟一 （ ）
7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设H1而确定的 （ ） 二、选择题（15分，每题3分）
（1）设B?A，则下面正确的等式是 。
（ａ）P(AB)?1?P(A)； （ｂ）P(B?A)?P(B)?P(A)； （ｃ）P(B|A)?P(B)； （ｄ）P(A|B)?P(A)
kP(X?k)?A?X（2）离散型随机变量的概率分布为(k?1,2,?)的充要条件
是 。
?1??(1?A)（ａ）且A?0； （ｂ）A?1??且0???1；
?1（ｃ）A???1且??1； （ｄ）A?0且0???1.
D(Xi)?Ai?1~10X（3） 设10个电子管的寿命i(i?1~10)独立同分布，且()，
则10个电子管的平均寿命Y的方差D(Y)? .
（ａ）A； （ｂ）0.1A； （ｃ）0.2A； （ｄ）10A.
2(X,X,?,Xn)（4）设12为总体X~N(0,1)的一个样本，X为样本均值，S
为样本方差，则有 。
（ａ）X~N(0,1)； （ｂ）nX~N(0,1)；
i?2（ｃ）X/S~t(n?1)； （ｄ）
2(X1,X2,?,Xn)N(?,?)(?已知)的一个样本，X为样本均值，（5）设为总体
2则在总体方差?的下列估计量中，为无偏估计量的是 。
1n1n222?1??(Xi?X)?2?(Xi?X)2?ni?1n?1i?1（ａ）； （ｂ）；
(n?1)X/?Xi2~F(1,n?1)21n1n1n22???(Xi??)?4?(Xi??)2?ni?1n?1i?1（ｃ）； （ｄ）. 三、填空题（18分，每题3分）
（1） 设随机事件A,B互不相容，且P(A)?0.3，P(B)?0.6，
23 .
2（2） 设随机变量X服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量Y?X的
概率密度函数为fY(y)? .
22(X,Y)~N(0,2;1,3;0)，则概率P(2X?Y?1)＝ . （3）设随机变量
（4）设随机变量(X,Y)的联合分布律为
则
P(BA)?(X,Y) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) 若E(XY)?0.8，则cov(X,Y)? . （5）设
X1,X2,?,X6P 0.4 0.2 a b i?1i?4是取自总体X~N(0,1)的样本，
22?E(?)＝ . ccY则当＝ 时， 服从分布，
Y?(?Xi)?(?Xi)2236
2X~N(?,?)（单位：小时）（6）设某种清漆干燥时间，取n?9的样本，得
2X?6,S?0.33，则?的置信度为95%的单侧置 样本均值和方差分别为
信区间上限为： .
四、计算题与应用题（54分，每题9分）
1.某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.
2.设随机变量(X,Y)的联合密度函数
?Af(x,y)???0
0?x?2,y?x其
fYX(yx)他求 (1)常数A ；(2)条件密度函数；(3)讨论X,Y的相关性 3.设随机变量X~U(0,1)(均匀分布)，Y~E(1)(指数分布)，且它们相互 独立，试求Z?2X?Y的密度函数fZ(z). 4.某彩电公司每月生产20万台背投彩电，次品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01. 试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.
5.设总体X的概率分布列为：
X 0 1 2 3 P p2 2 p(1-p) p2 1-2p
其中p(0?p?1/2) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3
求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 .
6．某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为 12690C 12710C 12630C 12650C
2N(?,?)，以??5% 的水平作如下检验： 设数据服从正态分布(1) 这些结果是否符合于公布的数字12600C？(2) 测定值的标准差是否
不超过20C？ 五、证明题（6分）
设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分
布，证明X?Y仍服从泊松分布，参数为6.
附表：
2标准正态分布数值表 ?分布数值表 t分布数值表
2?(0.4)?0.6554 ?0.05(3)?7.815 t0.025(3)?3.1824
2?(1.645)?0.950 ?0.025(3)?9.348 t0.05(3)?2.3534
2?(1.960)?0.975 ?0.05(4)?9.448 t0.05(8)?1.8595 2?(2.0)?0.9772 ?0.025(4)?11.143 t0.025(8)?2.306
长沙理工大学模拟试卷第六套
概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案
一. 是非题（7分，每题1分） 是 是 非 非 是 是 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ｂ）（ａ）（ｂ）（ｄ）（ｃ）. 三.
填空题（18分，每题3分）
0?y?4其他?1/(4y)fY(y)???01. 4/7； 2.
四. 计算与应用题（54分，每题9分） 1. A 任取2箱都是民用口罩，
；
3. 0.8446 ； 4. 0.1 ； 5. 1/3 2 ； 6. 上限为 6.356
Bk 丢失的一箱为k k?1,2,3分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花.(2分)
321C43C521C528P(A)??P(Bk)P(ABk)??2??2??2?2C910C95C936， (4分) k?121C4383P(B1A)?P(B1)P(AB1)/P(A)??2/P(A)???.2C936368 (3分)
2. (1) A?1/4. (2分)
x???(1/4)dy?x/20?x?2fX(x)??f(x,y)dy???x???0其他?(２) (2分) f(x,y)?1/(2x)?x?y?xfYX(yx)???其他 (2分) fX(x)?0当0?x?2时，
?(３)
E(X)??(x2/2)dx?4/3,02x2
E(Y)??dx?(y/4)dy?0,0?x2x
0?x 所以X与Y不相关. (3分)
E(XY)??xdx?(y/4)dy?0,cos(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0?e?y?10?x?1fY(y)??fX(x)???0?0其他 3.
y?0y?0
fZ(z)?????fX(x)fY(2x?z)dx (2分)
?0?x?1?0?x?1???2x?z?0??x?z/2?得z轴上的分界点０与２ (2分)
?1e?(z?2x)dx?ez(1?e?2)/2z?0??0?1fZ(z)???e?(z?2x)dx?(1?ez?2)/20?z?2z/2?0z?2?? (2，２，１分)
第i台彩电为次品且未被查出?1Xi??其他i?1~2?105?04. 设 (2分)
E(Xi)?5?10?6D(Xi)?5?10?6(1?5?10?6),
(2分)
2?105Y?经检验后的次品数
?Xi?1i?6D(Y)?1?5?10E(Y)?1，，， (2分)
?6Y~N(1,1?5?10) 由中心极限定理，近似地有
?3?1P(Y?3)?1?P(Y?3)?1?????6?1?5?105. (1)
???1??(2)?0.0228.?? (3分)
X??Xi?16/8?2i?18， 令 E(X)?3?4p?X， (2分)
?得 p的矩估计为 p?(3?X)/4?1/4. (2分)
(2) 似然函数为
L(p)??P(X?xi)?P(X?0)[P(X?1)]2P(X?2)[P(X?3)]4i?18?4p(1?p)(1?2p) (2分)
lnL(p)?ln4?6lnp?2ln(1?p)?4ln(1?2p)
628[lnL(p)]?????02?12p?14p?3?0 (1分) p1?p1?2p令 ，
24
?p?(7?13)/12. 由 0?p?1/2，故p?(7?13)/12舍去
?所以p的极大似然估计值为 p?(7?13)/12?0.2828. (2分)
14S?(Xi?X)2?40/3?3.65?3i?16. 由样本得 X?1267， . (1分)
H0:??1260,H1:??1260(1) 要检验的假设为
(1分)
T?检验用的统计量
X??0S/n~t(n?1)，
拒绝域为
T?t?(n?1)?t20.025(3)?3.1824. T1267?12600??3.836?3.1824
3.65/4，落在拒绝域内，
故拒绝原假设
H0
，即不能认为结果符合公布的数字12600C. (2) 要检验的假设为
H0:??2,H1:??2 ?2?(n?1)S22检验用的统计量
?2~?(n?1)0， 拒绝域为
?2??22?(n?1)??0.05(3)?7.815 ?20?40/4?10?7.815,落在拒绝域内，
故拒绝原假设
H0
，即不能认为测定值的标准差不超过20C. 五、证明题 (6分) [ B卷参数为2与4 ]
P(X?m)?3m?33n?由题设
m!eP(Y?n)?3n!e，，n,m?0,1,2,? iiP(X?Y?i)??P(X?k,Y?i?k)??P(X?k)P(Y?i?k)k?0k?0 i??3ki?ke?3?3ii!k?0k!(i?k)!e?3?e?61i!?(i?k)!3k?3i?kk?0k! ?e?61i!(3?3)i?6i?6i!e， i?0,1,2,? 所以 X?Y仍服从泊松分布，参数为6. (2分)
(1分)
(1分)
(2分)
(1分)
(1分)
(2分)
(2分) (1分)
长沙理工大学概率论与数理统计模拟试题6
