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等腰三角形典型例题练习(含答案)

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在△DFG和△EFC中 ,∴△DFG≌△EFC,∴DF=EF. 10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,

求证:BD=2CE.

考点: 分析: 解答: 全等三角形的判定与性质. 延长CE,BA交于一点F,由已知条件可证得△BFE全≌△BEC,所以FE=EC,即CF=2CE,再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD,所以BD=2CE. 证明:如图,分别延长CE,BA交于一点F. ∵BE⊥EC,∴∠FEB=∠CEB=90°,∵BE平分∠ABC,∴∠FBE=∠CBE, 又∵BE=BE,∴△BFE≌△BCE (ASA).∴FE=CE.∴CF=2CE. ∵AB=AC,∠BAC=90°,∠ABD+∠ADB=90°,∠ADB=∠EDC,∴∠ABD+∠EDC=90°. 又∵∠DEC=90°,∠EDC+∠ECD=90°,∴∠FCA=∠DBC=∠ABD. ∴△ADB≌△AFC.∴FC=DB,∴BD=2EC. 11.(2012?牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下: 如图①,连接AP.

∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴S△ABP=AB?PE,S△ACP=AC?PF,S△ABC=AB?CH. 又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,∴AB?PE+AC?PF=AB?CH. ∵AB=AC,∴PE+PF=CH.

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(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:

(2)填空:若∠A=30°,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH= 7 .点P到AB边的距离PE= 4或10 .

考点: 分析: 等腰三角形的性质;三角形的面积. 解答: (1)连接AP.先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP,S△ACP,S△ABC,再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH; (2)先根据直角三角形的性质得出AC=2CH,再由△ABC的面积为49,求出CH=7,由于CH>PF,则可分两种情况进行讨论:①P为底边BC上一点,运用结论PE+PF=CH;②P为BC延长线上的点时,运用结论PE=PF+CH. 解:(1)如图②,PE=PF+CH.证明如下: ∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴S△ABP=AB?PE,S△ACP=AC?PF,S△ABC=AB?CH, ∵S△ABP=S△ACP+S△ABC,∴AB?PE=AC?PF+AB?CH,又∵AB=AC,∴PE=PF+CH; (2)∵在△ACH中,∠A=30°,∴AC=2CH. ∵S△ABC=AB?CH,AB=AC,∴×2CH?CH=49,∴CH=7. 分两种情况: ①P为底边BC上一点,如图①. ∵PE+PF=CH,∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4; ②P为BC延长线上的点时,如图②. ∵PE=PF+CH,∴PE=3+7=10.故答案为7;4或10. 12.数学课上,李老师出示了如下的题目:

“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.

小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况,探索结论

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当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE = DB(填“>”,“<”或“=”).

(2)特例启发,解答题目

解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE = DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程) (3)拓展结论,设计新题

在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD

的长(请你直接写出结果). 考点: 等边三角形的判定与性质;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质. 分析: (1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°,求出∠DEB=30°,求出BD=BE即可; (2)过E作EF∥BC交AC于F,求出等边三角形AEF,证△DEB和△ECF全等,求出BD=EF即可; (3)当D在CB的延长线上,E在AB的延长线式时,由(2)求出CD=3,当E在BA的延长线上,D在BC的延长线上时,求出CD=1. 解答: 解:(1)故答案为:=. (2)过E作EF∥BC交AC于F, ∵等边三角形ABC,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC, ∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°, ∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=AF, ∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°, ∵DE=EC,∴∠D=∠ECD,∴∠BED=∠ECF, 在△DEB和△ECF中 ,∴△DEB≌△ECF,∴BD=EF=AE,即AE=BD,故答案为:=. (3)解:CD=1或3, 理由是:分为两种情况:①如图1过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,则AM∥EM, ∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=1, ∵AM⊥BC,∴BM=CM=BC=,∵DE=CE,EN⊥BC,∴CD=2CN, 13

∵AM∥EN,∴△AMB∽△ENB,∴=,∴=, ∴BN=,∴CN=1+=,∴CD=2CN=3; ②如图2,作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N, 则AM∥EM, ∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=1, ∵AM⊥BC,∴BM=CM=BC=,∵DE=CE,EN⊥BC,∴CD=2CN, ∵AM∥EN,∴=,∴=,∴MN=1,∴CN=1﹣=,∴CD=2CN=1 13.已知:如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.

考点: 分析: 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质. 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD,推出∠CDA=∠CAD=∠CPM,求出∠MPF=∠CDM,∠PMF=∠BMA=∠CMD,在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可. 解:∠F=∠MCD, 理由是:∵AF平分∠BAC,BC⊥AF,∴∠CAE=∠BAE,∠AEC=∠AEB=90°, 在△ACE和△ABE中 解答: 14

∵,∴△ACE≌△ABE(ASA)∴AB=AC, ∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线,∴CM=BM,CE=BE,∴∠CMA=∠BMA, ∵AE=ED,CE⊥AD,∴AC=CD,∴∠CAD=∠CDA, ∵∠BAC=2∠MPC,又∵∠BAC=2∠CAD, ∴∠MPC=∠CAD,∴∠MPC=∠CDA,∴∠MPF=∠CDM, ∴∠MPF=∠CDM(等角的补角相等), ∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°,∠F+∠MPF+∠PMF=180°, 又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD,∴∠MCD=∠F. 14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F. (1)线段AD与BE有什么关系?试证明你的结论. (2)求∠BFD的度数.

考点: 分析: 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质. (1)根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°,AB=CA,结合AE=CD,可证明△ABE≌△CAD,从而证得结论; (2)根据∠BFD=∠ABE+∠BAD,∠ABE=∠CAD,可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°. (1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA. 在△ABE和△CAD中, 解答: ∴△ABE≌△CAD∴AD=BE. (2)解:∵∠BFD=∠ABE+∠BAD, 又∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°. 15.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF,

求证:AE=CF.

考点: 分析: 解答: 全等三角形的判定与性质. 根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF,根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF. 证明:∵∠ABC=90°,∴∠ABE=∠CBF=90°, 又∵AB=BC,BE=BF,∴△ABE≌△CBF(SAS).∴AE=CF. 15

等腰三角形典型例题练习(含答案)

在△DFG和△EFC中,∴△DFG≌△EFC,∴DF=EF.10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证:BD=2CE.考点:分析:解答:全等三角形的判定与性质.延长CE,BA交于一点F,由已知条件可证得△BFE全≌△BEC,所以FE=EC
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