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张元鹏《微观经济学》（中级教程）第九章 一般均衡与福利经济学
课后习题详解
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1．假定两个消费者的效用函数分别为：
UA?XA,YA??20XA?YA，UB?XB,YB??XBYB
请推导帕累托交换最优的条件，并从中导出交换的契约曲线的隐函数形式，它是线性的吗？一般地说，交换的契约曲线在什么条件下在埃奇沃思盒状图中为一条对角线？
解：（1）帕累托交换最优条件的推导
设该经济体中X和Y商品的禀赋为X0和Y0，效用最大化可写为：
MaxUA?20XA?YA
?UB?XBYB?UB?常数?? s..t?XA?XB?X0?YA?YB?Y0?maxUA?20XA?YA??上述最优化问题等价于?
s..tUX?X,Y?Y?X?XY?Y?U?0A??0A?B?B?0A0A???。 构造拉格朗日函数：L?XA,YA,???20XA?YA?????X0?XA??Y0?YA??UB?分别求L对XA，YA的偏导数，并令其等于零：
?L?20???Y0?YA??0 ?XA?L?1???X0?XA??0 ?YA整理后可得：
201???，此即交换的契约曲线YA?XA?的隐函数形式，因为Y0?YAX0?XAYA?Y0?20?X0?XA?，故它是线性的。
（2）本题中，当XA/YA?XB/YB?X0/Y0时，交换的契约曲线为埃奇沃思盒状图中为一985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
条对角线。
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一般地说，如果经济中两个人具有相同的线性齐次偏好（扩展线为通过原点的直线），交换的契约曲线是埃奇沃斯盒状图中的对角线。证明如下：
因为两人为相同的线性齐次偏好，MRSA?f??YA??YB??，MRSB?f??。 XX?A??B?因为契约曲线上的每一点都满足交换最优的Pareto条件MRSA?MRSB，即
?Yf?A?XA??YB?YYAYY?Y?B?AB?0。 ?f???，从而
XAXBXA?XBX0??XB?Y0YYXA，其中0为埃奇沃斯盒状图的对角线斜率，从而YA?0XA为X0X0X0故契约曲线YA?埃奇沃斯盒状图中的对角线。
2．假定两个企业的生产函数分别为：
0.5X?FX?LX,KX??L0.5XKX，Y?FY?LY,KY??LYKY
请推导出帕累托生产效率的条件，并从中导出生产的契约曲线，它是线性的吗？
解：帕累托生产效率条件的推导： 生产的帕累托最优化问题可写成为：
Max X?X?LX，KX?S.. tY?Y0?常数?LX?LY?L0，KX?KY?K0
最优化模型可改写为：
Max X?X?LX，KX?s.t. Y?Y?L0?Lx，K0?KX??Y0
构造拉格朗日函数为：L?LX,KY,???X?LX,KX?????Y?L0?LX,K0?KX??Y0??。 对L分别求LX、KY的一阶偏导数，并令其为零：
?L?X?Y????MPLX??MPLY?0 ① ?Lx?Lx?LY?L?X?YY????MPKX??MPK?0 ② ?Kx?Kx?KYMPLXMPKXMPLXMPLYXY????MRTSLK?MRTSLK整理①，②可得：??。 YYXYMPLMPKMPKMPKXY?MRTSLK因此，帕累托生产的最优条件为MRTSLK。
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其中，MRTS由
XLKXLXL
?0.50.5Born to win
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MP0.5LXKXKXMPLYKYY????，MRTSLK?。 YMP0.5LX0.5KX?0.5LXMPKLYKXKY，LX?LY?L0，KX?KY?K0得： ?LXLYKXKKLY?K0?X?L0?LX?，进而KX?0LX。
L0LXLXKX?K0?KY?K0?KX?LX??K0LX即为生产的契约曲线，它是线性的。 L0
3．在某经济体系中用劳动和资本两种投入生产食物和衣服两种商品。在目前的配置条件下，劳动和资本在食物生产中的边际技术替代率为4，而在衣服生产中的边际技术替代率为3。该经济在生产中的资源配置是否有效率？为什么？如果不是，如何进行重新配置才能改善效率？
答：该经济在生产中的资源配置没有效率。
XY?MRTSLK令食物为X，衣服为Y，由于该经济中MRTSLK，不满足资源配置的帕累托最
优条件，还存在改进的空间。
XY?MRTSLK由于MRTSLK，要使两者相等，达到资源配置的有效率状态，则要减少食物生
产的边际技术替代率，增加衣服生产的边际技术替代率。
又MRTSLK?MPL，所以应减少食物生产中劳动的边际产量，增加食物生产中资本的边MPKXY?MRTSLK际产量；对于衣服生产来说正好相反，最终使得MRTSLK。
所以要使生产有效率，应该把衣服生产中的一部分劳动力转移到食物生产中，把食物生
产中的一部分资本转移到衣服生产中。
4．在第3题中所述的经济中，每个消费者在食物和衣服之间的边际替代率为1.7。在当前配置下，食物和衣服之间的边际转换率为2。该经济在产品配置方面是否有效率？为什么？如果不是，如何调节配置才能改善效率？
答：该经济在产品配置方面没有效率。
因为MRSXY?MRTXY，消费者放弃一单位食物的消费只要求补偿1.7单位的衣服，而少生产一单位食物可以多生产2单位衣服，所以要使产品配置有效率，应该减少食物生产，增加衣服生产。
5．假定在2×2×2模型中，两个消费者的效用函数分别为：
UA?XAYA，UB?XBYB
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两个生产者的生产函数分别为：
X?LXKX，Y?LYKY
再假定，L?LX?LY?10，K?KX?KY?100。 请求出同时实现帕累托生产和交换最优的条件。
XYAB解：帕累托生产最优的条件为MRTSLK，交换最优的条件为MRSXY。 ?MRTSLK?MRSXYMRTSXLKMPLXKXMPLYKYLKY???，MRTSLK?，故X?X； XYMPKLXMPKLYLYKYMRSAXYABMUXYAMUXYXYB???B，故A?A。 ，MRSXY?ABMUYXAMUYXBXBYBAB?MRSXY同时实现帕累托生产和交换最优要求MRTXY?MRSXY，由生产函数和效用函数
的对称性可知，MRTXY??dY?1，从而XA?XB，YA?YB，而生产可能性曲线上的每一点dXXY?MRTSLK均满足MRTSLK，从而LX?LY，KX?KY。
故同时实现帕累托生产和交换最优的条件为：LX?LY?5，KX?KY?50，此时X?Y?250。
6．假定两个厂商的生产函数分别为：
??1???X??L1XK?X，Y??LYKY
每个厂商一开始各拥有一半劳动力和资本，请问劳动力和资本的重新配置是否是帕累
托改进。
解：设LX?LY?L0，KX?KY?K0。
初始状态时，LX?LY?L0/2，KX?KY?K0/2。 此时，两厂商的边际技术替代率分别为：
MRTSXLK?????1???KX??1???K0MPLX??1???LXKX????
??LX??L0MPKX??LX1??KX??1MRTSYLK?????1???KY??1???K0MPLY??1???LYKY???? Y??LY??L0MPK??LY1??KY??1XY?MRTSLK若MRTSLK，即???，此时两个厂商达到了生产的帕累托最优条件，从而不
XY?MRTSLK存在帕累托改进；若MRTSLK，即???，此时两个厂商未达到生产的帕累托最优
条件，通过劳动力和资本的重新分配，可以实现帕累托改进。
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可能曲线的数学表达式。
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7．效用函数如第1题所示，现假定X?XA?XB?30，Y?YA?YB?10，请推导出效用
AB解：效用可能曲线上的点满足MRSXY，即YB?20XB。 ?MRSXY由X?XA?XB?30，Y?YA?YB?10可得，YA?20XA?590，从而
UA?20XA?YA?40XA?590
UB?XBYB??30?XA??10?YA???30?XA???10??20XA?590?????30?XA??600?20XA?U?590??U?590??U?590??U?590????30?A600?20A??30?A600?A?????? 4040402????????此即效用可能曲线的数学表达式。
8．在2×2×2模型中，假定两种要素L和K的既定数量为L0?108，K0?64，生产X2/3和Y的生产函数分别为：X?3L1/3XKX，Y?LY，两个消费者A和B拥有相同的效用函数：
1/21/21/2UA?X1/2AYA，UB?XBYB。
（1）请导出生产可能曲线X?F?Y?； （2）计算以下竞争性均衡值：
①产量X*，Y*；
**/P②产量价格比PXY；
③投入配置L*X，L*Y；
****④投入—产出价格比例w*/PX，r*/PY*，w*/PY，r/PX。
解：（1）由于Y?LY，即产品Y的生产仅需要劳动力的投入，资本要素应全部配置给X2/3?48L1/3产品，从而KY?0，KX?K0?KY?64，?X?3L1/3X?64X。
又LX?L0?LY?L0?Y?108?Y。 故X?F?Y??48L?48?108?Y?1/3X1/3?X?，或Y?108???，此即生产可能曲线。
?48?3（2）①完全竞争均衡时实现了生产和交换的帕累托最优，有：
ABMRTXY?MRSXY?MRSXY
其中：
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