1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）

伊宁县三中 赖江涛

三维目标

知识与技能：

①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：

① 通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分析能力；

②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力； 情感态度与价值观：

通过探索与发现的过程，使学生亲历数学研究的成功和快乐，感悟数学朴实无华 的内在美，学会提出问题、分析问题、解决问题、推广结论进而完善结论的数学应用意识， 激发学生勇于探索、敢于创新的精神，优化学生的思维品质。

教学重点 理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题.

教学难点 弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学方法 启发式 教具准备 多媒体 教学过程 一、引入课题

引入：还有两个月就到暑假了，经过半年紧张的学习，可能很多同学都会想出去旅游放松一下，下面我们就来看看一个和旅游有关的问题。

设计意图：从贴近学生实际生活的实例出发，让学生明白本节课的教学内容，激发学生学习兴趣。

二、讲授新课：

1、分类加法计数原理 问题1：（多媒体展示）暑假你打算从伊宁到乌鲁木齐旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从伊宁到乌鲁木齐共有多少种坐交通工具的方法? 有３＋２＝５种方法 探究１：（多媒体展示）你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件

事”是什么.）

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从伊宁到乌鲁木齐。

发现新知：

分类加法计数原理：完成一件事情，有2类方案，在第1类方案中有m1种不同

2

的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法.那么完成这件事共有N?m1?m2种不同的方法.（也称加法原理）

思考1：在问题1中，若除汽车、火车之外，还有两班飞机可以搭乘，那么，从伊宁到乌鲁木齐又有多少种方法呢？

推广：完成一件事情，有n类方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N?m1?m2?????mn种不同的方法.

设计意图：由特例到定义的设计思路让学生理解加法原理的概念，体现了一般存在于特殊之中的辩证法思想，便于让学生理解概念。 师生互动：由老师提问学生回答的方式进行。在本知识点中学生可能对“一件事”的概念的理解不是很好，在学生回答完后，老师应该进行点拨。

知识应用

例1：（多媒体展示）在1，2，3，?，200中能被5整除的数有多少个？ 解： 能被5整除的数，末位数字是0或5，因此，我们把1，2，3，?，200中能够被5整除的数分成两类来计算：第一类：末位数字是0的有20个.第二类：末位数字是5的有20个 根据加法原理，在1，2，3，?，200中，能够被5整除的数共有20+20=40个

变式：（多媒体展示）若把例题中的5换成2其余条件不变，答案是什么？

可以用：20+20+20+20+20=100（分成5类）

也可以直接得到100（分成2类——奇数与偶数）

设计意图：通过本例及变式练习让学生进一步理解“分类”的含义。并向学生指出分类的关键是弄清“一件事”是什么。

师生互动：由老师引导学生回答例题，由学生独立解答变式，并回答“一件事”是什么。

分类加法计数原理特点：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事.

设计意图：让学生总结加法原理的特点，加深对概念的理解。 师生互动：由学生总结，老师给以补充。

练一练：

（多媒体展示） 现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，

高中三年级的学生4名. 从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

可分为三类，共有3+5+4=12种．

2 、分步乘法计数原理 问题2：（多媒体展示）在问题1中，如果到达乌鲁木齐之后又计划去喀纳斯湖，而从乌鲁木齐到喀纳斯景区又有3班不同的旅游大巴可以选择，那么从伊宁出

2

发，经由乌鲁木齐到达喀纳斯景区，共有多少种不同的方法呢？ 探究2：（多媒体展示）你能说说这个问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”

是什么.）

完成一件事需要有两个不同步骤，在第1步中有5种不同的方法，在第2步中有3种不同的方法. 那么完成这件事共有5 ×3= 15种不同的方法. 一件事就是：从伊宁出发，经由乌鲁木齐到达喀纳斯景区

发现新知

分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成2个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法.那么完成这件事共有N?m1?m2种不同的方法.（也称乘法原理）

思考2：在问题2中，若最终需要到达喀纳斯最著名的景点月亮湾，且从大巴停靠点到达月亮湾有2条不同的道路，则从伊宁出发，最终到达月亮湾共有多少种不同的方法呢？

推广：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N?m1?m2?????mn种不同的方法.

设计意图：由特例到定义的设计思路让学生理解乘法原理的概念。 师生互动：由老师提问学生回答的方式进行。学生已经有了学习加法原理的基础，本知识点可以让学生回答，如果回答不全面则由老师进行引导完成。

知识应用

例2：（多媒体展示）有一项活动，需在3名教师、8名男生和5名女生

中选人参加.

(1)若只需1人参加，有多少种选法？

(2)若需教师、男生、女生各1人参加，有多少种选法？

解（１）可分为三类：第一类：选出的是教师，有３种选法.第二类：选出的是男生，有８种方法.第三类：选取的是女生，有５种选法。根据加法原理共有３＋８＋５＝１６种选法.

（２）完成这件事需要分别选出１名教师，１名男生，１名女生，因此需要分步相乘。

第一步：选出１名教师，有３种选法.第二步：选出一名男生，有８种方法.第三步：选取一名女生，有５种选法根据乘法原理，共有3 ×８×５=１２０种选法. 变式：（多媒体展示）学校准备召开一个座谈会，要在3名教师、8名男学生和5名女学生中选一名教师和一名学生参加，有多少种不同的选法？

先分类再分步，共有3 ×（８＋５）＝３９种选法

设计意图：通过本例及变式练习让学生进一步理解“分步”的含义。并让学生自己指出分类的关键是弄清“一件事”是什么。

2