空间点、直线、平面之间的位置关系
平面
知识梳理
1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为
A∈l B∈l => A∈? B∈?
【公理1作用】判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。
【公理2作】确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 【公理3作用】判定两个平面是否相交的依据.
A
B C
l??
α
A
· L
α
· ·
· β α
P
知能训练
L
·
一．选择题
1．已知m，n分别是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两不重合平面α，β，有以下四个命题：
①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，则m∥n； ②若m∥a，n∥b，且α⊥β，则m⊥n； ③若m∥α，n∥b，且α∥β，则m⊥n； ④若m⊥α，n⊥b，且α⊥β，则m∥n． 其中真命题的序号是（ ） A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
2．在下列命题中，不是公理的是（ ） A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A．l1⊥l2，l2⊥l3l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 4．下面四个说法中，正确的个数为（ ）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 （2）两条直线可以确定一个平面 （3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（ ） A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行
D．m与n异面、相交、平行均有可能
6．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（ A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线
） B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线 C．已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，n⊥β D．m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直
7．已知平面α，β，γ，直线m，l，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（ ） A．若lα，m∩α=A，则l与m必为异面直线 B．若l∥α，l∥m，则m∥α
C．若lα，mβ，l∥β，m∥α，则α∥β
D．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α
8．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若mα，nα，m∥β，n∥β，，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β=m，nα，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（ ） A．①③ 二．填空题
9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0，x+1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为 ．（将你认为所有正确的序号都填上） ①0②1/2③1④2⑤3．
10．空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这7个点最多可确定 个平面． 三．解答题
1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．
B．②④
C．①④
D．③④
2．四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2：3．
（1）证明：点G、E、F、H四点共面； （2）证明：EF、GH、BD交于一点．
空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
=>a∥c
?2③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
知能训练
一．选择题
1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，nα，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
2．如图，在三棱锥S-ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=，则异面直线D1B和AC所成角的余弦值为（ ）
A．1
B．/3 C．1/2 D．/5
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1B1上，点Q在线段B1C1上，且B1P=B1Q，给出下列结论：
①A、C、P、Q四点共面； ②直线PQ与AB1所成的角为60°； ③PQ⊥CD1； ④VP-ABCD=VQ-AA1D．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，正四面体A-BCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，则在下列命题中，错误的为（ ） A．O-ABC是正三棱锥
B．直线AD与OB成45°角
高中数学必修二2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案
