第六届中国东南地区数学奥林匹克试题
一、解答题
1、在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．
2、设x,y,z?R?，a?x(y?z)2,求证： a2?b2?c2?2(ab?bc?ca)．
b?y(z?x)2,c?z(x?y)2；
3、在凸五边形ABCDE中，已知AB?DE,BC?EA,AB?EA，且B,C,D,E 四点共圆．
证明：A,B,C,D四点共圆的充分必要条件是AC?AD．
4、试求满足方程x2?2xy?126y2?2009的所有整数对(x,y)．
以下是答案
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一、解答题
1、解：设红点集为：A?A1,A2,?,A12?，过点A1的弦有11条，而任一个含顶点A1的三角形，
恰含两条过点A1的弦，故这11条过点A1的弦，至少要分布于6个含顶点A1的三角形中；
同理知，过点Ai(i?2,3,,12)的弦，也各要分布于6个含顶点Ai的三角形中，这样就需要
12?6?72个三角形，而每个三角形有三个顶点，故都被重复计算了三次，因此至少需要
三角形．
72?24个3再说明，下界24可以被取到．不失一般性，考虑周长为12的圆周，其十二等分点为红点，以红
2?66条．若某弦所对的劣弧长为k，就称该弦的刻度为k；于是红端点的弦只点为端点的弦共有C12有6种刻度，其中，刻度为1,2,
12,5的弦各12条，刻度为6的弦共6条；
1110987123465如果刻度为a,b,c（a?b?c）的弦构成三角形的三条边，则必满足以下两条件之一： 或者a?b?c；或者a?b?c?12；
于是红点三角形边长的刻度组?a,b,c?只有如下12种可能：?1,1,2?,?2,2,4?,?3,3,6?,
?2,5,5?,?1,2,3?,?1,3,4?,?1,4,5?,?1,5,6?,?2,3,5?,?2,4,6?,?3,4,5?,?4,4,4?；
下面是刻度组的一种搭配：取?1,2,3?,?1,5,6?,?2,3,5?型各六个，?4,4,4?型四个；这时恰好得到
66条弦，且其中含刻度为1,2,,5的弦各12条，刻度为6的弦共6条；
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今构造如下：先作?1,2,3?,?1,5,6?,?2,3,5?型的三角形各六个，?4,4,4?型的三角形 三个，再用三个?2,4,6?型的三角形来补充．
?1,2,3?型六个：其顶点标号为：?2,3,5?,?4,5,7?,?6,7,9?,?8,9,11?,?10,11,1?,?12,1,3?； ?1,5,6?型六个：其顶点标号为：?1,2,7?,?3,4,9?,?5,6,11?,?7,8,1?,?9,10,3?,?11,12,5?； ?2,3,5?型六个：其顶点标号为：?2,4,11?,?4,6,1?,?6,8,3?,?8,10,5?,?10,12,7?,?12,2,9?； ?4,4,4?型三个：其顶点标号为：?1,5,9?,?2,6,10?,?3,7,11?；
?2,4,6?型三个：其顶点标号为：?4,6,12?,?8,10,4?,?12,2,8?．
（每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得）． 这样共得到24个三角形，且满足本题条件，因此，n的最小值为24．
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第六届中国东南地区数学奥林匹克试题
