专题 导数的概念及运算
一、题型全归纳 题型一 导数的运算
命题角度一 求已知函数的导数
【题型要点】1．谨记一个原则
先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．熟记求导函数的五种形式及解法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． 3．求复合函数的导数的一般步骤
(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数． (2)由外向内逐层求导． 【例1】求下列函数的导数：
ln ?2x＋1?
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝x－sin2xcos2x；(3)y＝excosx；(4)y＝.
x1sinx－
(5)y＝ln x＋(6)y＝(7)y＝(x2＋2x－1)e2x.
xx
【解】(1)因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y′＝18x2＋4x－3.
1
(2)因为y＝x－sin2xcos2x，所以y＝x－sin4x，
21
所以y′＝1－cos4x×4＝1－2cos4x.
2
(3)y′＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．
?2x＋1?′2x
·x－ln ?2x＋1?－ln ?2x＋1?
2x＋1?ln(2x?1)?[ln ?2x＋1?]′x－x′ln ?2x＋1?2x＋1
(4)y′＝?＝＝＝ 222?xxxx???＝
2x－?2x＋1?ln ?2x＋1?
.
?2x＋1?x2
??1????1?11(5)y′＝?lnx????lnx??????2.
x???x?xx??sinx??sinx?′x－sinx·x′xcosx－sinx(6)y′＝?＝. ?＝22xx
?x?(7)y′＝(x2＋2x－1)′e2x＋(x2＋2x－1)(e2x)′＝(2x＋2)e2x＋(x2＋2x－1)(－e2x)＝(3－x2)e2x.
－
－
－
－
－
命题角度二 求抽象函数的导数值
【题型要点】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
【例2】(2020·华中师范大学第一附中模拟)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f?x??x3??f????x2?x，则f′(1)＝________. 【答案】0
【解析】因为f?x??x3??f????x2?x，所以f??x??3x2?2?f????x?1.
??2????3????2????3????2????3????2??2?2??2??2?所以f????3????2?f??????1.解得f???＝－1.所以f′(x)＝3x2－2x－1，所以f′(1)＝0.
?3??3??3???3??3
2
【例2】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝ ． 9
【答案】－ 4
119
【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)
x229
＝－.
4
题型二 导数的几何意义
命题角度一 求切线方程
【题型要点】求切线方程问题的两种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．.
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即： ①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；
??y1＝f?x1?，
①根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组?求出
?y0－y1＝f′?x1??x0－x1?，?
切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．
【例1】（2020年新课标全国1卷(文)）曲线y?lnx?x?1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】y?2x
【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0),y?lnx?x?1,y??1?1， xy?|x?x0?1?1?2,x0?1,y0?2，所以切点坐标为(1,2)， x0所求的切线方程为y?2?2(x?1)，即y?2x.故答案为：y?2x.
，f(1))处的切线方程为【例2】（2020年新课标全国1卷.6（理））函数f(x)?x4?2x3的图像在点(1（ ）
A. y??2x?1 C. y?2x?3 【答案】B
B. y??2x?1 D. y?2x?1
【解析】
f?x??x4?2x3，?f??x??4x3?6x2，?f?1???1，f??1???2，
因此，所求切线的方程为y?1??2?x?1?，即y??2x?1.故选：B.
命题角度二 求切点坐标
【题型要点】求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【例3】(2020·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( ) A．(0,0) C．(－1,1) 【答案】D
【解析】f′(x)＝(x3＋ax2)′＝3x2＋2ax，
2??3x0＋2ax0＝－1， ①
由题意得f′(x0)＝－1，x0＋f(x0)＝0，所以? 2?x0＋x3?0＋ax0＝0， ①
B．(1，－1) D．(1，－1)或(－1,1)
2222由①知x0≠0，故①可化为1＋x20＋ax0＝0，所以ax0＝－1－x0代入①得3x0＋2(－1－x0)＝－1，即x0＝1，
解得x0＝±1.
3＋ax2＝－1； 当x0＝1时，a＝－2，f(x0)＝x00
3＋ax2＝1，所以点P的坐标为(1，－1)或(－1,1)． 当x0＝－1时，a＝2，f(x0)＝x00
【例4】若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是 ． 【答案】 (e，e)
【解析】 设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1， 所以切线的斜率k＝ln x0＋1，
由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e. 故点P的坐标是(e，e)．
命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
【题型要点】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：抓住以下三点
①切点处的导数是切线的斜率；①切点在切线上；①切点在曲线上．
exe【例5】(2020·高考全国卷Ⅲ)设函数f?x??．若f??1??，则a=_________．
x?a4【答案】1
【解析】由函数的解析式可得：f??x??ex?x?a??ex?x?a?2?ex?x?a?1??x?a??2，
则：f??1??e1??1?a?1??1?a?2?ae?a?1?2，据此可得：
ae?a?1?2e， 4整理可得：a2?2a?1?0，解得：a?1. 故答案为：1.
【例6】(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A.???1?,??? ?2?B.???1?,??? ?2?C．(0，＋∞)
D．[0，＋∞)
专题3.1导数的概念及运算(2021年高考数学一轮复习专题)
