习题1
2. 设A,B,C都是事件,试通过对A,B,C,A,B,C中的一些事件的交及并的运算式表示下列事件:
1) A,B,C中仅有A发生. 2) A,B,C中至少有两个发生. 3) A,B,C中至多两个发生. 4) A,B,C中恰有两个发生. 5) A,B,C中至多有一个发生. 答案 1) ABC; 2) AB 5) ABC
3. 袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率:
A?“三次都是红的”,B?“三次颜色全同”,C?“三次颜色全不同”,D?“三次颜色不全同”,E?“三次中无红”,F?“三次中无红或无黄”.
解 每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有43?64种可能，因此样本空间含有64个样本点。
每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有23?8种可能，因此事件A含有8个样本点。
ABCABCACBC; 3) ABC (或ABC); 4) ABCABCABC;
ABC.
3次抽球都抽到紅球共有23?8种可能，3次抽球都抽到黄球共有13?1种可能，3次抽球都抽到白球共有13?1种可能，因此事件B含有8?1?1?10个样本点。
3?3!?6种，对应于每一种排列，抽到的球有2?1?1?2种可能， 3种颜色的排列有A3因此事件C含有6?2?12个样本点。
因为事件B含有10个样本点，故事件D?B含有64?10?54个样本点。
每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有2种可能，3次抽球都抽不到紅球共有23?8种可能，因此事件E含有8个样本点。
3次都抽不到红球有8种可能，3次都抽不到黄球有33?27中可能，3次都抽不到红球和黄球有13?1中可能，因此事件F含有8?27?1?34个样本点。
1
由上可得
P(A)?8/64?1/8， P(B)?10/64?5/32， P(C)?12/64?3/16， P(D)?54/64?27/32， P(E)?8/64?1/8 P(F)?34/64?17/32。
7. 某小学六个年级各年级学生人数相同,从中任意抽出4名代表.求下列事件的概率. 1) 从一年级到四年级每个年级恰好有一名代表. 2) 每个年级的代表都至多有一名. 3) 三年级恰好有两名代表.
(设学生人数很多,抽出几个代表后各年级学生人数比例的变化可以忽略). 解：1）P(A)?A??4!1 ?4546?5 182）P(B)?B?C?4A66422C45253）P(C)? ?4??2166答案 1) 1/54, 2) 5/18, 3) 125/392（？）.
10. 在8对夫妻中任意选出5人.求至少有一对夫妻被选中的概率. 解 设A?“没有一对选中” P(A)?A??16?14?12?10?816?，P(A)?23/39
16?15?14?13?1239答案 23/39.
11. 在今年元旦出生的婴儿中任选一人,又在今年头两天出生的婴儿中再任选一人.求这两人的出生时间相差不到半天的概率.
解 设第一个和第二个婴儿出生时间分别是元旦开始后的X天和Y天，则两人的出生时间相差不到半天当且仅当|X?Y|?1/2（如右图），从图中看到,矩形面积为2，阴影部分面积为7/8，故两人的出生时间相差不到半天的概率为
7/8?7/16。 213. 在一条线段上随意放两点把这条线段一分为三,求得到的三条线段能成为一个三角形的三条边的概率.
解 ??{(x,y):0?x?1,0?y?1}，
2
A?{(x,y):y?1/2,y?x?1/2}?{(x,y):x?1/2,x?y?1/2}
P(A)?A??1 4答案 1/4.
14. 某城市的调查表明,该城市的家庭中有65%订阅日报,有55%订阅晚报,有75%订阅杂志,有30%既订阅日报又订阅晚报,有50%既订阅日报又订阅杂志,有40%既订阅晚报又订阅杂志,有20%日报晚报和杂志都订阅.该城市的家庭中至少订阅有一份报纸或杂志的家庭占百分之几?
解 设A?“订阅日报”，B?“订阅晚报”，C?“订阅杂志”,则至少订阅有一份报纸或杂志的家庭所占的百分数为
P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?65%?55%?75%?30%?50%?40%?20%?95%。
17. 掷五枚硬币.已知至少出现两个正面,问正面数刚好是三个的条件概率是多少? 解 掷五枚硬币，有25?32种结果，样本点总数是32。则Ai?“恰好出现i个正面”，
i种可能，选种的硬币出现正面，其余的硬币i?0,1,2,3,4,5。在5枚硬币中选出i个，有C5i出现反面，有1种可能。故事件Ai含有C5个样本点。设B?“至少出现两个正面”，则B的
对立事件B?“至多出现一个正面”?A001?C5?6个样本点，事件B含有A1含有C532?6?26个样本点。因而
P(B)?26/32?13/16.
3?10个样本点，故 又A3含有C5P(A3)?10/32?5/16。
从而所求的条件概率为
P(A3|B)?P(A3B)P(A3)10/32???5/13。 P(B)P(B)26/3219.投掷一个骰子两次.
1) 已知第一次是6点,求两次都是6点的条件概率.
2) 已知两次中至少有一次是6点,求第二次是6点的条件概率. 3) 已知两次中至多有一次是6点,求第二次是6点的条件概率.
4) 已知两次中恰好有一次是6点,求第二次是6点的条件概率. 解 A?第一次得6点，B?第二次得6点。 1）P(AB)/P(A)?1/6.
3
2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1/6?1/6?1/36?11/36
P(BA?B)?P(B)1/6??6/11
P(A?B)11/363) C?AB?AB?AB, BC?AB
P(BC)?(5/6)(1/6)?1/7
(1/6)(5/6)?(5/6)(1/6)?(5/6)(5/6)4) C?AB?AB,BC?AB
P(BC)?(5/6)(1/6)?1/2
(1/6)(5/6)?(5/6)(1/6)?答案 1/6 6/11 1/7 1/2.
21. 已知某种病菌在全人口的带菌率为10%.在检测时,带菌者呈阳性和阴性反应的概率分别为95%和5%,而不带菌者呈阳性和阴性反应的概率分别为20%和80%. 1) 随机地抽出一个人进行检测,求结果为阳性的概率.
2) 已知某人检测的结果为阳性,求这个人是带菌者的条件概率. 解 P(B1)?0.1,P(B2)?0.9
P(AB1)?0.95,P(AB2)?0.20
P(A)?0.1?0.95?0.9?0.2?0.275
P(B1A)?0.1?0.95/0.275?19/55
答案 1) 0.275, 2) 19/55.
22. 张先生给李小姐发出电子邮件,但没有收到李小姐的答复.如果李小姐收到电子邮件一定会用电子邮件答复,而电子邮件丢失的概率是p.求李小姐没有收到电子邮件的条件概率. 解 设A?”李小姐没有收到电子邮件”,B?“张先生没有收到李小姐的答复”.则
P(A)?p，P(B|A)?p，P(B|A)?1。
P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)p1。 ???P(B)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)p?(1?p)p2?p
26. 设A,B,C都是事件.又A和B独立,B和C独立,A和C互不相容.P(A)?1/2,
4
P(B)?1/4,P(C)?1/8.求概率P(ABC).
解 P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(A)P(C) ?1/2?1/4?1/8?(1/2)(1/4)?(1/2)(1/8)?13/16。
29. 设线路中有元件A,B,C,D,E如图6.1,它们是否断开是独立的,断开的概率分别是0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求线路断开的概率.
解 设A?“A断开”,B?“D断开”,E?“B断开”, C?“C断开”, D?“E断开”, .则P(A)?0.6,P(B)?0.5,P(C)?0.4,P(D)?0.3,P(E)?0.2. T?“线路断开” P(T)?P{[(AB)CD]E}?P[(AB)CD]?P(E)?P[(AB)CDE] ?P(ACD)?P(BCD)?P(ABCD)?P(E)?P(ACDE)?P(BCDE)?P(ABCDE) ?0.6?0.4?0.3?0.5?0.4?0.3?0.6?0.5?0.4?0.3?0.2?0.6?0.4?0.3?0.2 ?0.5?0.4?0.3?0.2?0.6?0.5?0.4?0.3?0.2
?0.072?0.060?0.0360?0.200?0.0144?0.0120?0.0072?0.2768
解2 P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.6?0.5?0.6?0.8, P[(AB)CD]?P(AB)P(C)P(D)?0.8?0.4?0.3?0.096,
P(T)?P{[(AB)CD]E}?P[(AB)CD]?P(E)?P[(AB)CD]P(E) ?0.096?0.2?0.096?0.2?0.2768.
35*. 同时投掷4个骰子,求掷出的4个面的点数之和是12的概率.
12解 求(x?x?...?x)中x的系数，即(1?x?x?...?x)?(1?x)(1?x)26425464?4中
x8的系数.
(1?x6)4?1?4x6?....
(1?x)?4?(1?4x?10x2?...?165x8?...)
故系数为165－40＝125
P(A)?A??125125? 412966 习题2
4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为p(0?p?1),若以X表示直至掷到正、反面都出
现为止所需投掷的次数,求X的概率分布.
5
概率统计习题1、2答案
