张喜林制
2.1 离散型随机变量及其分布列
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1．一般地，如果随机试验的结果，可以用 来表示，那么这样的 叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X，y，Z（或小写希腊字母??,?,?)等表示，而用小写拉丁字母x，y，z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．
2．一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1,x2,?,xn且 ①，则称①为随机变量X的概率分布列，也可以将①用下表的形式来表示：
将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．
3．像随机变量X只取两个可能值O和l的概率分布称为____ 或 ，并记为 或 ，此处
“～”表示“ ” 4.随机变量X的概率分布定义中的pi，(i=l，2，?，n)满足条件(1)____(2) 要点核心解读
1．随机变量
(1)-般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z（或小写希腊字母?,?,?）等表示，而用小写拉丁字母x，y，z（加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．
(2)引入随机变量后，随机试验中的各种事件就可以通过随机变量的取值表示出来了． (3)说明：
①课本在介绍随机变量的概念时，不加定义地引入了“随机试验”的概念，一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验，
②所谓随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的．这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果．
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(4)知识拓展：
①一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种：
如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量，如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量． ②离散型随机变量和连续型随机变量的区别：
离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验出现的结果，但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来说，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出，而连续性随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举．例如，抛掷一枚 骰子，可能出现的点数?是一个离散型随机变量；某人早晨在出租车站等出租车的时间?（单位：秒）就不是一个离散型随机变量．
2．随机变量概率分布的性质
(1)对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步了解随机变量取这些值的概率.
对于离散型随机变量，它的分布列指出了随机变量?取这些值的概率，掌握离散型随机变量的分布列，我们就对离散型随机变量取哪些值及取这些值的概率情况有了本质的认识，即掌握了离散型随机变量取值的统计规律．
(2)我们知道，随机事件A的概率满足0?P(A)?1,必然事件U的概率P(U)?1,若离散型随机变量X所有可能取的值为x1,x2,?,xn?
X取每一个值xi(i?1,2,?,n)的概率为P(X?xi)?pi,则可列表如下：
上表有以下两条性质：
①0?pi?1,i?1,2,3,?,n;②p1?p2?p3???pn?1.
不满足上述两条性质的分布列一定是错误的，即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件．
(3)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的，因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，
例如：已知随机变量?的分布表为
h?3则P(2?L?5)?P(s)?P(???4)?P(??5)?0.3?0.1?0.05?0.45.
3．求随机变量概率分布的步骤及综合运用
(1)求随机变量的概率分布有以下几步：①明确随机变量的取值范围，即找出随机变量X的所有可能的取值xi(i?1,2,?);②求出随机变量取每一个值的概率P(X?xi)?pi;③列成表格．
(2)随机变量的概率分布的求解要注意以下几点：①搞清楚随机变量每个取值对应的基本随机事件；
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②计算必须准确无误；③注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确．
(3)随机变量的概率分布是以后学习随机变量的数学期望、方差的基础，而求概率分布需要综合运用排列组合和概率的相关知识，是高考考查的重点内容之一，题目类型可以是小题，也可以是大题，以中档题为主．
(4)随机变量的概率分布和排列组合：要求随机变量X的概率分布，就要求出概率
P(X?xi)(i?1,2,?),而P(X?xi)?P(Ai),要求基本事件Ai发生的概率就要运用等可能事件的概率、
排列组合、分类计数原理、分步计数原理等知识和方法，因此求随机变量的概率分布的问题往往需要综合运用排列组合、概率等知识和方法．
例：袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的概率分布表．
解：X的可能取值为1，2，3，4，5，则第1次取到白球的概率为P(X?1)?率为P(X?2)?1,第2次取到白球的概54114311??,第3次取到白球的概率为P(X?3)????,第4次取到白球的概率545543543211432111为P(X?4)?????,第5次取到白球的概率为P(X?5)??????,所以X的
54325543215概率分布表是
本题在求概率时要注意题中的条件，每次从中任取一球，而且取出的黑球不再放回．
4．对“两点分布”的理解
如果随机变量X的分布列是两点分布列，即
则称随机变量x服从参数为p的两点分布．
(1)两点分布又称0~1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以这种分布还称为伯努利分布．并称p?P(X?1)为成功概率．
(2)两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用两点分布来研究．
典例分类剖析
考点1 离散型随机变量的概念 命题规律
离散型随机变量的取值及其实际意义．
[例1] 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，每次取到的红球不放回，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数；
(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． [解析] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
, [解] (1)设所需的取球次数为X，则X?1,2,3,4,?,10,11 3 / 14
2.1 离散型随机变量及其分布列-王后雄学案
