2001年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷一二试
一、填空题(共10小题,每小题5分,满分50分) 1.(5分)
= .
2.(5分)在长方形ABCD中,长AB=5,对角线的AC=13,那么矩形ABCD的面积等于 . 3.(5分)将三个数:该是: .
4.(5分)如图,点D、E分别在△ABC的边AC和BC上,∠C=90°,DE∥AB,且3DE=2AB,AE=13,BD=9,那么AB的长为 .
用两个不等号“>”连接起来,正确的结果应
5.(5分)已知x、y、z是正整数,并且满足于 .
6.(5分)已知点D,E,F分别在△ABC的三边BC,CA,AB上,G为BE与CF的交点,并且BD=DC=CA=AF,AE=EC=BF,那么
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,那么x+y+z的值等
的值等于 .
7.(5分)如果满足||x﹣6x﹣16|﹣10|=a的实数x恰有6个,那么实数a的值等于 . 8.(5分)已知△ABC为等腰直角三角形,∠C为直角,延长CA至D,以AD为直径作圆,连BD与圆O交于点E,连CE,CE的延长线交圆O于另一点F,那么9.(5分)满足下列两个条件的正整数n的个数为 . (1)对所有的自然数,x,x﹣2001x+n≥0; (2)存在自然数x0,使x0﹣2002x0+n<0.
10.(5分)一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运到三百多里以外的乙站,已知每列货车的平均速度都相等,且记为v公里/小时.两列货车实在运行中的间隔不小于
公里,这批救灾物资全部运到目的地最快需要6小时,那么每隔 分钟从
甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到.
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的值等于 .
二、解答题(共3小题,满分40分)
11.(12分)在锐角△ABC中,AD⊥BC,D为垂足,DE⊥AC,E为垂足,DF⊥AB,F为垂足.O为△ABC的外心.
求证:(1)△AEF∽△ABC;(2)AO⊥EF.
12.(14分)给定代数式﹣x+100x+x中的字母x只允许在正整数范围内取值.当这个代数式的值达到最大值时,x的值等于多少?并证明你的结论.
13.(14分)(1)证明存在非零整数对(x,y),使代数式11x+5xy+37y的值为完全平方数; (2)证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2,其中a1:a2≠b1:b2,使得对于任意自然数n,当x=a1n+b1n+c1,y=a2n+b2n+c2时,代数式11x+5xy+37y的值都是完全平方数.
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2001年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷一二试
参考答案与试题解析
一、填空题(共10小题,每小题5分,满分50分) 1.(5分)【分析】因为
【解答】解:原式=
=﹣1﹣1﹣1=﹣3. 故答案为:﹣3.
【点评】此题考查二次根式的混合运算,关键是求
=
.
=
= ﹣3 .
,代入并通分计算即可.
=
2.(5分)在长方形ABCD中,长AB=5,对角线的AC=13,那么矩形ABCD的面积等于 60 .
【分析】矩形各内角为90°,∴△ABC为直角三角形,已知AC=13,AB=5,根据勾股定理即可求BC的值,根据AB、BC的值即可求 矩形ABCD的面积. 【解答】解:∵矩形各内角为90°, ∴△ABC为直角三角形, AC=13,AB=5, ∴BC=
=12,
故长方形ABCD的面积=5×12=60. 故答案为 60.
【点评】本题考查了矩形面积的计算,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,本题中根据勾股定理计算BC的长是解题的关键. 3.(5分)将三个数:该是: >2+>
.
用两个不等号“>”连接起来,正确的结果应
【分析】利用近似值代替各个式子中的数,进行比较即可. 【解答】解:
≈2.236,
≈2.224,2+
≈2+
≈2.227,
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∴>2+>>2+
, >
.
故答案是:
【点评】比较几个无理数的大小,常用的方法是利用近似值的大小比较.
4.(5分)如图,点D、E分别在△ABC的边AC和BC上,∠C=90°,DE∥AB,且3DE=2AB,AE=13,BD=9,那么AB的长为
.
【分析】先设DE=2x,CD=2y,CE=2z,由于DE∥AB,3DE=2AB,根据平行线分线段成比例定理,可得AB=3x,AC=3y,BC=3z,而∠C=90°,利用勾股定理,可得y+z
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=x①,(3y)+(2z)=13②,(2y)+(3z)=9③,解关于①②③的方程,可求x,从而可求AB.
【解答】解:设DE=2x,CD=2y,CE=2z, ∵DE∥AB,3DE=2AB, ∴AB=3x,AC=3y,BC=3z, 又∵∠C=90°,
∴(2y)+(2z)=(2x), 即y+z=x,①
同理(3y)+(2z)=13,② (2y)+(3z)=9,③ ②﹣①×4,得 5y=169﹣4x,④ ①×9﹣③,得 5y=9x﹣81,⑤ ⑤﹣④,得 x=x=
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, ,
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∴AB=3x=故答案为:
. .
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、解方程的有关知识.注意要巧妙的设,可使问题简化.
5.(5分)已知x、y、z是正整数,并且满足于 19 .
【分析】将方程组中②利用换元法变形,即设
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,那么x+y+z的值等
=a,则x+y+z=a+3,②可变
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形为a﹣a﹣12=0,解方程得a的值,再求x+y+z的值. 【解答】解:由方程组②,设②可变形为a﹣a﹣12=0, 解得a=4或﹣3,
当a=4时,x+y+z=a+3=19, 当a=﹣3时,x+y+z=a+3=12,
代入原方程检验可知x+y+z=12不符合题意,舍去, 故答案为:19.
【点评】本题考查了无理方程的解法.关键是将无理式换元,转化为整式方程求解.注意解无理方程需要检验.
6.(5分)已知点D,E,F分别在△ABC的三边BC,CA,AB上,G为BE与CF的交点,并且BD=DC=CA=AF,AE=EC=BF,那么
的值等于
.
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=a,则x+y+z=a+3,
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【分析】过E作AB的平行线交CF于M点,则EM是△AFC的中位线,M是中点,利用AAS求证△BFG≌△EMG然后得EM=BF,所以BG=GE,G是BE的中点,而D是BC的中点,所以DG是△BEC的中位线,然后即可得出答案. 【解答】解:过E作AB的平行线交CF于M点, ∴EM是△AFC的中位线,M是中点, ∴EM=AF=BF, ∴△BFG≌△ENG,
∴BG=GE,即G是BE的中点,
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