2001年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷一二试
一、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）
＝ ．
2．（5分）在长方形ABCD中，长AB＝5，对角线的AC＝13，那么矩形ABCD的面积等于 ． 3．（5分）将三个数：该是： ．
4．（5分）如图，点D、E分别在△ABC的边AC和BC上，∠C＝90°，DE∥AB，且3DE＝2AB，AE＝13，BD＝9，那么AB的长为 ．
用两个不等号“＞”连接起来，正确的结果应
5．（5分）已知x、y、z是正整数，并且满足于 ．
6．（5分）已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD＝DC＝CA＝AF，AE＝EC＝BF，那么
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，那么x+y+z的值等
的值等于 ．
7．（5分）如果满足||x﹣6x﹣16|﹣10|＝a的实数x恰有6个，那么实数a的值等于 ． 8．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么9．（5分）满足下列两个条件的正整数n的个数为 ． （1）对所有的自然数，x，x﹣2001x+n≥0； （2）存在自然数x0，使x0﹣2002x0+n＜0．
10．（5分）一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运到三百多里以外的乙站，已知每列货车的平均速度都相等，且记为v公里/小时．两列货车实在运行中的间隔不小于
公里，这批救灾物资全部运到目的地最快需要6小时，那么每隔 分钟从
甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到．
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的值等于 ．
二、解答题（共3小题，满分40分）
11．（12分）在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足．O为△ABC的外心．
求证：（1）△AEF∽△ABC；（2）AO⊥EF．
12．（14分）给定代数式﹣x+100x+x中的字母x只允许在正整数范围内取值．当这个代数式的值达到最大值时，x的值等于多少？并证明你的结论．
13．（14分）（1）证明存在非零整数对（x，y），使代数式11x+5xy+37y的值为完全平方数； （2）证明存在六个非零整数a1，b1，c1，a2，b2，c2，其中a1：a2≠b1：b2，使得对于任意自然数n，当x＝a1n+b1n+c1，y＝a2n+b2n+c2时，代数式11x+5xy+37y的值都是完全平方数．
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2001年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷一二试
参考答案与试题解析
一、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）【分析】因为
【解答】解：原式＝
＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3． 故答案为：﹣3．
【点评】此题考查二次根式的混合运算，关键是求
＝
．
＝
＝ ﹣3 ．
，代入并通分计算即可．
＝
2．（5分）在长方形ABCD中，长AB＝5，对角线的AC＝13，那么矩形ABCD的面积等于 60 ．
【分析】矩形各内角为90°，∴△ABC为直角三角形，已知AC＝13，AB＝5，根据勾股定理即可求BC的值，根据AB、BC的值即可求 矩形ABCD的面积． 【解答】解：∵矩形各内角为90°， ∴△ABC为直角三角形， AC＝13，AB＝5， ∴BC＝
＝12，
故长方形ABCD的面积＝5×12＝60． 故答案为 60．
【点评】本题考查了矩形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算BC的长是解题的关键． 3．（5分）将三个数：该是： ＞2+＞
．
用两个不等号“＞”连接起来，正确的结果应
【分析】利用近似值代替各个式子中的数，进行比较即可． 【解答】解：
≈2.236，
≈2.224，2+
≈2+
≈2.227，
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∴＞2+＞＞2+
， ＞
．
故答案是：
【点评】比较几个无理数的大小，常用的方法是利用近似值的大小比较．
4．（5分）如图，点D、E分别在△ABC的边AC和BC上，∠C＝90°，DE∥AB，且3DE＝2AB，AE＝13，BD＝9，那么AB的长为
．
【分析】先设DE＝2x，CD＝2y，CE＝2z，由于DE∥AB，3DE＝2AB，根据平行线分线段成比例定理，可得AB＝3x，AC＝3y，BC＝3z，而∠C＝90°，利用勾股定理，可得y+z
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＝x①，（3y）+（2z）＝13②，（2y）+（3z）＝9③，解关于①②③的方程，可求x，从而可求AB．
【解答】解：设DE＝2x，CD＝2y，CE＝2z， ∵DE∥AB，3DE＝2AB， ∴AB＝3x，AC＝3y，BC＝3z， 又∵∠C＝90°，
∴（2y）+（2z）＝（2x）， 即y+z＝x，①
同理（3y）+（2z）＝13，② （2y）+（3z）＝9，③ ②﹣①×4，得 5y＝169﹣4x，④ ①×9﹣③，得 5y＝9x﹣81，⑤ ⑤﹣④，得 x＝x＝
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， ，
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∴AB＝3x＝故答案为：
． ．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、解方程的有关知识．注意要巧妙的设，可使问题简化．
5．（5分）已知x、y、z是正整数，并且满足于 19 ．
【分析】将方程组中②利用换元法变形，即设
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，那么x+y+z的值等
＝a，则x+y+z＝a+3，②可变
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形为a﹣a﹣12＝0，解方程得a的值，再求x+y+z的值． 【解答】解：由方程组②，设②可变形为a﹣a﹣12＝0， 解得a＝4或﹣3，
当a＝4时，x+y+z＝a+3＝19， 当a＝﹣3时，x+y+z＝a+3＝12，
代入原方程检验可知x+y+z＝12不符合题意，舍去， 故答案为：19．
【点评】本题考查了无理方程的解法．关键是将无理式换元，转化为整式方程求解．注意解无理方程需要检验．
6．（5分）已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD＝DC＝CA＝AF，AE＝EC＝BF，那么
的值等于
．
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＝a，则x+y+z＝a+3，
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【分析】过E作AB的平行线交CF于M点，则EM是△AFC的中位线，M是中点，利用AAS求证△BFG≌△EMG然后得EM＝BF，所以BG＝GE，G是BE的中点，而D是BC的中点，所以DG是△BEC的中位线，然后即可得出答案． 【解答】解：过E作AB的平行线交CF于M点， ∴EM是△AFC的中位线，M是中点， ∴EM＝AF＝BF， ∴△BFG≌△ENG，
∴BG＝GE，即G是BE的中点，
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