2012版高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性精品学案
2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性
【高考目标导航】 一、考纲点击
1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性;
3、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。 二、热点难点提示
1、函数的奇偶性及简单函数的周期性是考查热点；
2、函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数数值及求参数值等问题是重点，也是难点；
3、题型以选择题和填空题为主，还可与其他知识点交汇命题 【考纲知识梳理】 一、函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数。 注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；
2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。 二、奇偶函数的性质
1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。 2、在公共定义域内，
关于原点对称 图象特点 关于y轴对称 1 / 21
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亦即：
（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； （2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。
3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.
4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； 5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； 6、可逆性： f(?x)?f(x) ?f(x)是偶函数；
f(?x)??f(x)?f(x)奇函数；
7、等价性：f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0
f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0
8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；
9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇
非偶函数。
三、周期性
1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有
f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。
2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。 【要点名师透析】 一、函数奇偶性的判定
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1、相关链接
<1>利用定义判断函数奇偶性的一般步骤
，即：
（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系 ①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数； ②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数； ③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;
④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 <2>一些重要类型的奇偶函数 （1） 函数f(x)=a+a为偶函数; 函数f(x)=a-a为奇函数；
（2） 函数f(x)=( a-a)/( a+a)=( a-1)/( a+1)其中（a>0且a≠1）为奇函数； （3） 函数f(x)=loga(
x
-x
x
-x
x
x
x
-xx
-x
1?x)为奇函数（a>0且a≠1）; 1?x（4） 函数f(x)= loga(x?x2?1)为奇函数（a>0且a≠1） 2、例题解析
〖例1〗讨论下述函数的奇偶性：
xx(1)f(x)?16?1?2;x2?1n(x?1?x)(x?0)?(2)f(x)??0(x?0);??1n(1?x??x)(x?0)
(3)f(x)?1og2(1?x2?x2?1?1);a2?x2(4)f(x)?(常数a?0);|x?a|?a
解：（1）函数定义域为R，
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