D C B
F A E ∵作AG∥BD交DE延长线于G ∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF∽CDF
AF=AG=5 ∴DC=CF=2
18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．
解：延长AD至BC于点E,
∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC
在△ABD和△ACD中 ｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC
19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA
证明：
∵OM平分∠POQ ∴∠POM＝∠QOM
∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90 ∵OM＝OM
∴△AOM≌△BOM （AAS） ∴OA＝OB ∵ON＝ON
∴△AON≌△BON （SAS）
∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB＝180 ∴∠ONA＝∠ONB＝90 ∴OM⊥AB 20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
P CE
D做BE的延长线，与AP相交于F点，
∵PA//BC BA∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA
的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
A
C
BD延长AC到E 使AE=AC 连接 ED ∵ AB=AC+CD ∴ CD=CE 可得∠B=∠E △CDE为等腰 ∠ACB=2∠B
22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
（1）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF； （2）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF．
23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面A积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
EODBC
证明： ∵DC∥AB
∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE＝BE ∴BE＝DC ∵DC∥AB
∴∠DCE＝∠BEC ∵CE＝CE
∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE． F
A
ED 证明：
BC∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元 ∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG
而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB
∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE
25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
DEFCAB
证明：∵DF=CE， ∴DF-EF=CE-EF， 即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）
26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
AFBEMC
证明： ∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
全等三角形证明经典50题（含答案）
