高考数学专题练习-函数模型及其应用
一、填空题
1．给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).
x y 【答案】①
4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27
【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________(填序号)．
【答案】①
3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．
【答案】10
【解析】设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，
B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
1当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，
5
t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
15
- 1 -
【答案】20
x40－y【解析】设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所
4040
以面积S＝x(40－x)＝－x＋40x＝－(x－20)＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400. 5．(·长春模拟)一个容器装有细沙a cm，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，
3
2
2
t min 后剩余的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经
过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 【答案】16
6．A，B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 kmh，B的速度是 16 kmh，经过________h，AB间的距离最短．
25
【答案】
8
【解析】设经过x h，A，B相距为y km，则y＝
145－40x2
＋16x2
＝
292522
1 856t－11 600t＋145(0≤x≤)，求得函数的最小值时x的值为.
88
7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________． 【答案】10
【解析】设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用
- 2 -
100＋0.5x＋xx＋1100
为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝＝x＋＋
xx100
1.5，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2
xx·
100100
＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即xxx＝10时取等号．
8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)． 【答案】2019
二、解答题
9．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？ 1223
解 (1)V＝×6×2＋6×2×4＝312(m)．
3(2)设PO1＝x，
则O1B1＝6－x，B1C1＝2·6－x， ∴SA1B1C1D1＝2(6－x)，
又由题意可得下面正四棱柱的高为4x.
12222
则仓库容积V＝x·2(6－x)＋2(6－x)·4x＝
326
x(36－x2)． 3
2
2
2
2
2
2
- 3 -
由V′＝0得x＝23或x＝－23(舍去)． 由实际意义知V在x＝23(m)时取到最大值， 故当PO1＝23 m时，仓库容积最大．
10．(·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产
5量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
x2
能力提升题组
11．(·南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．
- 4 -
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数1
的20%，且k≥3.问：P能否大于，说明理由．
20解 (1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N. (2)法一 依题意x＝0.2a， 所以P＝＝
*
mxx0.2aa＝＝ 22
ykax＋5k0.2a＋5ka＋25
12．(·苏、锡、常、镇四市调研)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的1 260
关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180
x＋1时，q(x)＝a－bx(a，b为实常数)． (1)求函数q(x)的表达式；
(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．
?a－b·20＝60，
解 (1)当20≤x≤180时，由?
?a－b·180＝0，
?a＝90，得?
?b＝35.
??故q(x)＝?90－35x，20 ??0，x≥180. (2)设总利润f(x)＝x·q(x)， 1 260 ，0 - 5 -
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