概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式及不等式选讲（4-5）
一．不等式的性质：
?，1．同向不等式可以相加；异向不等式变向相加：若a?bc,d则a?c?b?d（若a?b,c?d，
则a?(?c)?b?(?d)），但异向不等式不可以直接相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式取倒相乘，但不能
11相除：若a?b?0,c?d?0，则ac?bd（若a?b?0,0?c?d，则a??b?）；
cd3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a?b?0，则an?bn或na?nb；
11114．若ab?0，a?b，则?；若ab?0，a?b，则?。如
abab（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题： ①若a?b,则ac2?bc2； ②若ac2?bc2,则a?b；
11 ③若a?b?0,则a2?ab?b2； ④若a?b?0,则?；
abba ⑤若a?b?0,则?； ⑥若a?b?0,则a?b；
abab11? ⑦若c?a?b?0,则； ⑧若a?b,?，则a?0,b?0。 c?ac?bab其中正确的命题是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______
（答：1?3x?y?7）；
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如
1t?1（1）设a?0且a?1,t?0，比较logat和loga的大小
221t?11t?1（答：当a?1时，logat?loga（t?1时取等号）；当0?a?1时，logat?loga（t?12222时取等号））；
21（2）设a?2，p?a?，q?2?a?4a?2，试比较p,q的大小
a?2（答：p?q）；
（3）比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)的大小
444（答：当0?x?1或x?时，1+logx3＞2logx2；当1?x?时，1+logx3＜2logx2；当x?333时，1+logx3＝2logx2）
三．利用基本不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最
小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是
1 A、y?x?的最小值是2
xx2?3 B、y?的最小值是2
2x?24 C、y?2?3x?(x?0)的最大值是2?43
x4 D、y?2?3x?(x?0)的最小值是2?43 x（答：C）；
（2）若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______
（答：22）；
（3）正数x,y满足x?2y?1，则
11?的最小值为______ xy（答：3?22）；
22a?b?a?b?ab?2(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；四.常用不等式有：（1）
221?1ab222（2）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号本质就是排序不等式
bb?m你看出来了吗？）；（3）若a?b?0,m?0，则?（糖水的浓度问题）。
aa?m如 如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________
（答：?9,???）
五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过
分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
1111111??2???（裂项法） 常用的放缩技巧有：?nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n111k?1?k????k?k?1（有理化）
k?1?k2kk?1?k如（1）已知a?b?c，求证：a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2 ； (2) 已知a,b,c?R，求证：a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)；
11xy?（3）已知a,b,x,y?R?，且?,x?y，求证：；
abx?ay?ba?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc； (4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg222（5）已知a,b,c?R，求证：a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)；
(6)若n?N*，求证：(n?1)2?1?(n?1)?n2?1?n；
|a|?|b||a|?|b|?(7)已知|a|?|b|，求证：；
|a?b||a?b|111?????2。 22223n六．简单的一元高次不等式的解法：根轴法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使
每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如
（1）解不等式(x?1)(x?2)2?0。
（答：{x|x?1或x??2}）；
（8）求证：1?（2）不等式(x?2)x2?2x?3?0的解集是____
（答：{x|x?3或x??1}）；
（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式f(x)?g(x)?0的解集为______
（答：(??,1)?[2,??)）；
（4）要使满足关于x的不等式2x2?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是______.
81（答：[7,)）
8七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母
分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用根轴法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母（或者说在已知条件给出的范围内分母符号可判断，也可去分母）。如 5?x??1 （1）解不等式2x?2x?3（答：(?1,1)?(2,3)）；
ax?b?0的解集为（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式
x?2____________
（答：(??,?1)?(2,??)）.
八．绝对值不等式的解法：
311．零点分段法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2?x|?2?|x?|
42（答：x?R）；
2．利用绝对值的定义；
3．数形结合；如解不等式|x|?|x?1|?3
（答：(??,?1)?(2,??)）
4．两边平方：如
若不等式|3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。
4（答：{}）
3九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集即讨论变量一致时先交后并，否则不予交并. 如
不等式及不等式选讲【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
