x23y2??1） 方程，并说明是什么曲线．（
7525提示：|AB|?10?(x1?x2)2??y1?y2??10，又y1??233x1，y2?x2， 33则y1?y2?33(x2?x1)，y2?y1?(x1?x2)． 33又 2x?x1?x2，2y?y1?y2代入距离公式即可．
uuuruuur（3）过点N(1, 0)是否存在直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP?OQ?0，若存
在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．（不存在） 14．已知点F(1, 0)，直线l:x?2，设动点P到直
线l的距离为d，已知|PF|?2d，且 2yMl23?d?． （1）求动点P的轨迹方程； 32uuuruuuruuuruuur1OPOF（2）若PF?OF?，求向量与的夹角；
3uuuruuur（3）如图所示，若点G满足GF?2FC，点M满足
uuuruuurMP?3PF，且线段MG的垂直平分线经过点P，求
△PGF的面积．
PGOFCx15．如图，直线l:y?kx?1与椭圆C:ax?y?2（a?1）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）． （1）若k?1，且四边形OAPB为矩形，求a的值；（a?3）
（2）若a?2，当k变化时（k?R），求点P的轨迹方程．（2x?y?2y?0（y?0））
2222x2y216．双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的离心率为2，其中A(0,?b)，
abuuur2uuur24uuur2uuur2B(a, 0)，且|OA|?|OB|?|OA|?|OB|．（1）求双曲线C的方程；
3（2）若双曲线C上存在关于直线l：y?kx?4对称的点，求实数k的取值范围． 解：（I）依题意有：
?c?a?2,?422?22a?b?ab, ?3??a2?b2?c2.??
解得：a?1,b?3,c?2.
y2?1.………………………………………6分 所求双曲线的方程为x?32（Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分
当k≠0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称．由l⊥MN，直线MN的方程为
1y??x?b．则M、N两点的坐标满足方程组
k1?y??x?b,?由? 消去y得 k?3x2?y2?3.?(3k2?1)x2?2kbx?(b2?3)k2?0．…………………………………9分
显然3k?1?0，
22?∴??(2kb)2?4(3k2?1)??(b?3)k???0．
2即kb?3k?1?0． ①
222?kb?x?,02??3k?1设线段MN中点D（x0,y0）则? 2?y?3kb.?03k2?1?∵D（x0,y0）在直线l上，
3k2b?k2b?2?4．即k2b=3k2?1 ② ∴23k?13k?1把②带入①中得 kb+bk?0， 解得b?0或b??1．
2223k2?13k2?1?0或<-1． ∴22kk即k?31或k?，且k≠0． 32∴k的取值范围是(??,?3113)U(?,0)U(0,)U(,??)．…………………14分 3223uuuruuur17．已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(0，1)，动点M到定直线y =1的距离等于d，并uuuuruuuuuuuuruuuurr且满足OM·AM=K(CM·BM-d2)，其中O为坐标原点，K为参数.
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（Ⅱ）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足值范围.
32≤e≤，求实数K的取32uuuruuuruuuur1uuuruuur18．过抛物线y?4x的焦点作两条弦AB、CD，若AB?CD?0，OM?(OA?OB)，
2uuur1uuuruuurON?(OC?OD)．
22（1）求证：直线MN过定点；（2）记（1）中的定点为Q，求证?AQB为钝角； （3）分别以AB、CD为直径作圆，两圆公共弦的中点为H，求H的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．
19．（05年江西）如图，M是抛物线上y?x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值； B两点，且MA?MB．
（2）若M为动点，且?EMF?90，求△EMF的重心G的轨迹．
思路分析：（1）由直线MF（或ME）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出
o2G点坐标，消去y0即得到G的轨迹方程（参数法）.
解：（1）法一：设M(y0,y0)，直线ME的斜率为k（k?0），
2则直线MF的斜率为?k，方程为y?y0?k(x?y0)．
2y M B 2??y?y0?k(x?y0)2∴由?，消x得ky?y?y0(1?ky0)?0，
2??y?xO E A x F (1?ky0)21?ky0解得yF?，∴ xF?， 2kk∴kEF1?ky01?ky02?y?yFk?kk??1(定值)． ?E??xE?xF(1?ky0)2(1?ky0)2?4ky02y0?k2k2k2所以直线EF的斜率为定值．
法二：设定点M(x0,y0)，E(x1,y1)、F(x2,y2)，
2?11?y0?x0,由? 得 (y0?y1)(y0?y1)?x0?x1，即kME?；同理 kMF?．
2y?yy?y?0102?y1?x1∵ MA?MB，∴ kME??kMF，即
11??，∴ y1?y2??2y0．
y0?y1y0?y2所以，kEF?y1?y2y1?y211?2???（定值）． 2x1?x2y1?y2y1?y22y0第一问的变式：过点M作倾斜角互补的直线ME、MF，则直线EF的斜率为定值；根据不
同的倾斜角，可得出一组平行弦．
2（2）当?EMF?90o时,?MAB?45o,所以k?1,直线ME的方程为y?y0?k(x?y0)
2??y?y0?x?y02由?得E((1?y0),1?y0)
2??y?x2同理可得F((1?y0),?(1?y0)).
22??(1?y0)2?(1?y0)22?3y0xM?xE?xFy0x?????333 设重心G（x, y），则有??y?xM?xE?xF?y0?(1?y0)?(1?y0)??y0?333?消去参数y0得y2?122x?(x?)． 927320．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分
向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B?，折痕l与AB交于点E，点Muuuuruuuruuur满足关系式EM?EB?EB?．
（1）建立适当的直角坐标系，求点M的轨迹方程；
（2）若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，F是AB边上的一点，
uuuruuuruuuruuurBA?4BF，过点F的直线交曲线C于P、Q两点，且PF??FQ，求实数?的取值范
围．
高中数学动点轨迹问题专题讲解
