可简单验证AP?PD。
?133??1?1?1??122???????AP??3?5?3?110??1?20????????331????101????10?2??
?1?1?1??100??122?PD???110??0?20????1?20?
????????101????00?2????10?2??
例4：将矩阵对角化
?243?A???4?6?3?。
????331??解：特征方程
0?det(A??I)???3?3?2?4??(??1)(??2)2，特征值是??1和???2。
?1?对于??1的基，v1???1?。
????1????1?对于???2的基，v2??1?。
????0??由定理5，矩阵A不能对角化。
定理6: （矩阵对角化充分条件）有n个相异特征值的n?n矩阵可对角化。 证：设v1,L,vn是矩阵A对应于n个相异特征值的特征向量，由5.1节定理2，因此由定理5，A可对v1,L,vn线性无关，
角化。
注：不是必要条件，如例3.
?5?81??007?A?例5：可对角化，因为????00?2??其特征值是5，0，-2，三个相异的特征值。
特征值不是都相异的矩阵
定理7：设A是n?n矩阵，其相异的特征值是?1,L,?p。
a. 对于1?k?p，?k的特征空间的维数小于或等于?k的代数重数。
b. 矩阵A可对角化的充分必要条件是所有不同特征空间的维数之和为n。即每个?k的特征空间的维数等于?k的代数重数。
c. 若A可对角化，是对应于?k的特征空间的基，那么，集合
中所有向量的集合是?的特征向量基。
例6：可能的话，将下列矩阵对角化。
n?5000??0500??. A???14?30???1?20?3??? 解：A是三角矩阵，特征值为??5和???3，重数为2。
??8???16??4??4??， 对于??5的基，v1???和v2???1??0??0??1??????0??0??0??0?对于???3的基，v3???和v4???。
?1??0??0??1?????由定理7，向量集合?v1,L,v4?是线性无关的，故有A?PDP，其中
?1??8?16?44P??0?1?01?
00??5??000?,D??10??0??01??00??500?0?30??00?3?00
线性代数
