优化后的分析结果， Object Name Total Deformation Equivalent Elastic Strain Equivalent Stress Minimum 0. m 5.4554e-008 m/m 3.119e-006 m/m 10911 Pa 6.2381e+005 Pa Maximum 5.1147e-006 m
3.2.2.1优化设计：
根据拓扑结果，我们设置了5个参数作为优化设计变量，其各参数取值如下：
我们采用多目标优化，将质量和结构最大变形作为目标函数，使其取值最小。在将多目标转化为单目标时，我们对质量和最大变形分别赋予了不同的权重，具体设置如下表：
优化结果：
通过对比以上三种结果，我们发现结果A较为理想。
Rating definitions:
The most positive rating of means that the design is excellent in terms of satisfying the goal defined for the parameter. ? The most negative rating of means that the design is poor in terms of satisfying the goal.
? A rating of is neutral with respect to the goal.
?
响应面:
3.2.3 Matlab语言实现的拓扑结构优化结果： 3.2.2.1重要参数设计：
Nelx=32 x方向单元的数目为32
nely=20 y方向单元的数目为20 注：该悬臂梁的长宽比为16：10
f/volfrac=0.4 保留原材料的体积分数为0.4
penal=3.0 抑制权值为3.0（该取值是资料建议的典型值）
rmin=1.2 过滤大小为1.2（该取值是资料建议的典型值）
3.2.2.2优化实验结果：
3.2.2.3试验结果分析
从该实验结果来看，在我们给定的体积保留率的情况下，
每经过一次拓扑结构优化，该优化程序就将悬臂梁的拓扑结构中强度要求不高处材料的密度减小，直到所有无用的材料都将被去除为止。我们的拓扑结构优化模型是建立在结构变形能最小、体积去除率自己给定的基础上进行的，故我们可以根据实际情况，自行确定体积去除率。
在拓扑优化的过程中，我们可以观察到，我无论体积压缩
率如何变化，悬臂梁模型最终都向桁架结构进化。这说明，在结构件中，在自身材料多少相同的条件下，桁架具有很高的刚
度和强度，其实这也就是为什么拓扑结构优化首先在桁架结构领域提出。故工程上，我们常见工程人员采用桁架结构来作为一些工程的支撑结构，如塔吊等。
在实验中，在验证不同的体积压缩率时，我们发现，在不
同的给定体积压缩率下，算法的有效性也不同，但在验证过程中，发现算法一直会收敛。体积压缩率小的时候，该算法能很快终止；体积压缩率较大的时候，该算法的收敛速度较慢，并且还会出现不同程度的震荡，并且体积压缩率越大，该算法的振动也震荡。
3.3实验结论及总结：
实验中，为了充分发挥我们小组人员的优势，我们从两条独立的途径来
分别对该问题进行研究。
Ansys中，我们利用其自带的的模块对该问题进行了建模，拓扑结构优化。为了工程上的加工方便，我们在拓扑结构优化的基础上，对其形状进行了规则化，与此同时，进行再次优化。
Matlab中，我们将建立的数学模型用数值模拟的形式进行了处理，并将所得到的处理结果进行了图像动态显示，以此来清晰的观察拓扑结构优化的动态过程，给人以直观的印象。
在用Ansys进行拓扑结构优化的时候，我们发现，当材料去除率为60%时，其所得到的拓扑结构与我们用Matlab进行拓扑结构优化是所得到的结果的拓扑结构是一致的。这验证了我们的数学模型是对的。
但是我们的模型也存在着一定的问题，即在材料去除率很小的时候，预加载荷未变的情况下，该模型的解均存在。出现这一情况的原因是，我们在计算悬臂梁的位移矩阵，一直认为其应力未超过破坏强度，整个过程均在弹性变形范围内。故在实际应用的时候，需要我们结合一定的工程经验来确定个重要参数的取值。
四、参考文献及附录： 4.1主要参考文献：
1. Sigmund, O. 1994: Design of material structures using topology optimization. Ph.D. Thesis, Department of Solid Mechanics, Technical University of Denmark
2. Sigmund, O. 1997: On the design of compliant mechanisms using topology optimization. Mech. Struct. Mach. 25, 495–526
3.《ANSYS/WORKBENCH设计、仿真与优化》 李兵 何正嘉 陈雪峰等 清华大学出版社 2008年8月第一版
4. http://www.topopt.dtu.dk.
5.《基于结构最大刚度的形状优化方法》 欧阳高飞 张建民 机械工程学报 2008年10月
4.2 相关附件：
附件1：悬臂梁拓扑结构优化Matlab程序：
%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLESIGMUND, OCTOBER 1999 %%%
function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);%主程序，即调用程序。其中的参数需要用户提供。依次为x方向单元数、y方向单元数、期望优化的体积或质量百分比、抑制权值、过滤因子
% INITIALIZE 初始化
x(1:nely,1:nelx) = volfrac; %在整个求解域均分材料 loop = 0;
change = 1.; %新旧改变之差 % START ITERATION
while change > 0.01 %第一层，设置图像显示次数，即优化的次数 loop = loop + 1; xold = x;
% FE-ANALYSIS 有限元
[U]=FE(nelx,nely,x,penal); %调用有限元子程序，返回位移矢量 % OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANALYSIS [KE] = lk; %调用单元刚度阵 c = 0.;
for ely = 1:nely -24行一次循环。外层循环，y方向循环nely次数 for elx = 1:nelx %内层循环，x方向循环次数为nelx
n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely; %在全局坐标系中，左上方的节点数目
n2 = (nely+1)* elx +ely;%在全局坐标系中，右上方的节点数目 %n1、n2作用是从全局位移矢量提取局部或单元位移矢量
Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1);%返回单元位移
c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;
dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue; end end
% FILTERING OF SENSITIVITIES灵敏度检验
[dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc); %调用网格滤波子函数
% DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD 标准优化 [x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc); %调用优化子函数 % PRINT RESULTS 拓扑过程显示 change = max(max(abs(x-xold)));
disp([' 循环次数It.: ' sprintf('%4i',loop) ' 优化目标值Obj.: ' sprintf('.4f' ,c) ...
' 拓扑质量分数Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...
基于MATLAB和ANSYS的悬臂梁拓扑优化
