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高数总复习(上)
一、求极限的方法：
1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若limf(x)?A,limg(x)?B, 则
(加减运算) lim[f(x)?g(x)]?A?B (乘法运算) limf(x)g(x)?AB
f(x)A(除法运算) 若B?0,limg(x)?B
nnnlimf(x)?A,lim[f(x)]?[limf(x)]?A推论1: (n为正整数)
推论2: limcf(x)?c[lim②结论1:f(x)]
a0xm?a1xm?1?limx??bxn?bxn?1?01?a0?b,当m?n 0??am?1x?am???0,当m?n?bn?1x?bn??,当m?n???结论2: f(x)是基本初等函数，其定义区间为D，若x0?D，则
limf(x)?f(x0) x?x02、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；
limf(x)?0或（limf(x)?0） ①定义1: 若x?xx??0则称f(x)是当x?x0 (或x??)时的无穷小. 定义2: ?,?是自变量在同一变化过程中的无穷小:
若lim??1, 则称?与?是等价无穷小, 记为???.
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②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设?且lim??存在, 则
??~??,?~??,
??????. lim?lim?lim?lim?????? (因式替换原则)
常用等价无穷小:
sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,
1?cosx~x,e?1~x,?1?x??1~?x,ln?1?x?~x,
122x?ax?1~xlna,?x?0?
3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；
①准则I(夹逼准则)若数列xn,yn,zn(n=1,2,…)满足下列条件: (1)yn?xn?zn(n?1,2,3,(2)limy?limz?a,
nnn??n??);
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则数列xn的极限存在, 且limxn?a.
n??②准则II: 单调有界数列必有极限.
4、利用两个重要极限。
1sinx1xxlim?1 lim(1?x)?e lim(1?)?e
x?0x??x?0xx5、利用洛必达法则。
0??,,???,0??,0 未定式为类型. 0?0 ①定理(x?a时的型): 设
0f(x)?limF(x)?0; (1)limx?ax?a(2) 在某U(a,?)内, f(x)及F(x)都存在且F(x)?0; (3)limf?(x)存在(或为无穷大)
x?aF?(x)f(x)f?(x) 则，lim?limx?aF(x)x?aF?(x)
二、求导数和微分 ： 1.定义
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①导数：函数y?f(x)在x?x0处的导数：
f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)f?(x0)?lim?lim.
x?x0?x?0x?x0?x函数y?f(x)在区间I上的导函数：
f(x??x)?f(x)dyf(x)?lim?.
?x?0?xdx②函数的微分：dy?f?(x)dx.
2.导数运算法则（须记住P140导数公式）
① 函数和差积商求导法则：函数u(x)、v(x)可导，则：
(?u(x)??v(x))???u?(x)??v?(x)
(u(x)v(x))??u?(x)v(x)?u(x)v?(x).
?
uvu?v?uv????2v(v?(x)?0)
②反函数求导法则：若x??(y)的导数存在且??(y)?0， 则反函数y?f(x)的导数也存在且为
f?(x)?1. ??(y)③复合函数求导法则(链式法则)：u??(x)可导，y?f(u)可导，
则y?f(?(x))可导，且
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dydydu?. dxdudx④隐函数求导法则:
⑤参数方程求导法则:
?x??(t), ? y??(t)?dy??(t)?若??(t)?0则. dx??(t)??(t)dy)d()d(2dydx???(t)?1?dx dx2dxdtdt3.微分运算法则
高等数学大一上学期知识要点
