核心素养提升(九)
一、一道教材例题的推广
(选修2-1P41例3改编)如图，设A、B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM4
相交于点M，且它们的斜率之积为－，求点M的轨迹方程．
9
x2y2
易求得点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±5)，其轨迹是一个椭圆(除去A、B点)．
25100
9通过数形结合分析得出下面两个结论：
x2y2
①A(－5，0)，B(5，0)正好是椭圆＋＝1在x轴上的两个顶点．
25100
9100944
②kMA·kMB＝－正好是－＝－.
9259因此有下面的三个命题．
b2
[命题1] 设A1(－a，0)，A2(a，0)(a>0)，动点M满足kMA1·kMA2＝－2，
ax2y2
则点M的轨迹为2＋2＝1(x≠±a)．
ab
x2y2
[命题2] M是椭圆2＋2＝1(a>0，b>0)上不同于顶点的点．A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，
abb2
－b)，B2(0，b)，则kMA1·kMA2＝kMB1·kMB2＝－2.
a
x2y2
[命题3] AB是椭圆2＋2＝1(a>0，b>0)过其中心O的弦．M是椭圆上不同于A、B的
abb2
任一点，则kMA·kMB＝－2.
a
b2
【证明】 命题1：设M(x，y)，由kMA1·kMA2＝－2得
a
yyb2x2y2
·＝－2，化简得2＋2＝1(x≠±a)．
aabx＋ax－a
命题2：设M(m，n)，
m2n2
则2＋2＝1， ab
b22a222
22
即n＝－2(m－a)或m＝－2(n－b)，
ab
nnn2
所以kMA1·kMA2＝·＝
m＋am－am2－a2
2
b2
－2（m2－a2）ab2
＝＝－2，
am2－a2n＋bn－bn2－b2
kMB1·kMB2＝·＝
mmm2b2
＝＝－2，
a22a2－2（n－b）b
b2
所以kMA1·kMA2＝kMB1·kMB2＝－2.
a
命题3：根据对称性可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)， 再设M(m，n)．
x2y2m2n211
则有2＋2＝1，2＋2＝1(m≠±x1，n≠±y1)．
abab所以
b222b2222
y1＝2(a－x1)，n＝2(a－m2)．
aan2－b2
n－y1n＋y1n2－y21
则kMA·kMB＝·＝22
m－x1m＋x1m－x1b22
（x－m2）a21b2＝＝－2
am2－x21b2
所以kMA·kMB＝－2.
a
近年来，中点弦问题是高考的热点，如果熟练掌握中点弦的性质，那么问题便触手可及，将收到事半功倍的效果．
在求离心率中的应用 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且
顶角为120°，则E的离心率为( )
A．5 C．3
【解析】 画出图象可知， ∠MAB＝30°，∠MBx＝60°.
B．2 D．2
x2y2
设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
abb2
由kMA·kMB＝2得
ab2
＝tan 30°tan 60°＝1. a2
所以a2＝b2＝c2－a2， c
即c＝2a，e＝＝2，故选D.
a【答案】 D
在求斜率中的应用
已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C
有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
9
【证明】 法一：由上文定理即得kOM·kAB＝－＝－9.
1即kOM·kl＝－9(定值)． 法二：将
9x2＋y2＝m2(m>0)化成
x2y2
＋＝1， m2m29
m2
所以kOM·kAB＝－2＝－9.即kOM·kl＝－9(定值)．
m9 在求直线方程中的应用
x2y23
(选修2-1 P49习题2.2 A组T8(2)改编)已知椭圆＋＝1，一组斜率为的直线
492
与椭圆相交，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．
【证明】 设直线被椭圆截得的线段的中点M(x，y)， 9
则kl·kOM＝－，
43y9即·＝－， 2x4即3x＋2y＝0.
解得这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 在求曲线方程中的应用
x2y2
(经典考题)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交
ab
E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
x2y2
A．＋＝1
4536x2y2
C．＋＝1
2718
【解析】 由题意得a2－b2＝9，① b20－（－1）－1b2
由kAB·kOM＝－2得×＝－2，
a1a3－1即a2＝2b2，②
由①②可得a2＝18，b2＝9，故选D. 【答案】 D
在求距离中的应用
已知A、B是抛物线y2＝4x上两点，|AB|＝8，求AB的中点M到y轴距离的最
小值，并求此时AB所在的直线方程．
【解】 当直线AB的斜率不存在时， 由|AB|＝8易求得M(4，0)，
此时M到y轴的距离为4，AB所在的直线方程为x＝4. 当直线AB的斜率存在时，设M(x0，y0)，
22
则kAB＝，AB所在的直线方程为y－y0＝(x－x0)，①
y0y0
2－4x＝0. 将y2＝4x代入①得y2－2y0y＋2y00
x2y2
B．＋＝1
3627x2y2
D．＋＝1
189
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝2y0，y1y2＝2y20－4x0. 由|AB|＝
11＋2?得 [（y1＋y2）2－4y1y2]??k?2－4x）][（2y0）2－4（2y00
?1＋y0?＝8. ?4?22
化简得(4x0－y20)(y0＋4)＝64，
6464所以4x0＝2＋y2＋(y20＝0＋4)－4 2
y0＋4y0＋4
≥2
642
×（y0＋4）－4＝12，即x0≥3. 2y0＋4
64
当且仅当2＝y20＋4，
y0＋4
即y0＝±2时，取“＝”．即当M(3，±2)时，AB的中点M到y轴的最短距离为3， 22
此时，AB所在的直线方程为y－2＝(x－3)或y＋2＝(x－3)，
2－2即y＝x－1或y＝－x＋1. 二、一道高考题引发的探究
[真题示例]
(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
[命题意图] 本题主要考查抛物线的定义、焦点弦及基本不等式的应用(或函数最值)．考查逻辑推理和运算求解能力．
[解题思路] 一般利用弦长公式计算，有时也会引入中间变量利用函数的有界性或取值范围求解．
解法探究 思路1 焦点弦
法一：设l1的倾斜角α，α∈(0°，90°)，则l2的倾斜角为90°＋α. 由焦点弦公式得|AB|＝16＝2. sin2α
所以当sin22α＝1，即α＝45°时，(|AB|＋|DE|)min＝16. 法二：由题意知，显然直线l1，l2的斜率都存在． 1
设l1的斜率为k，则l2的斜率为－.
k由焦点弦公式得
44444，|DE|＝2＝2.所以|AB|＋|DE|＝2＋22sinαsinαcosαsin（90°＋α）cosα
?－1?21＋1＋k?k?2|AB|＝2×4，|DE|＝2×4＝(1＋k)×4. k?－1??k?
2
高三一轮复习2021版 第九章 核心素养提升(九)
